Renta constante temporal pospagable
Hemos definido como rentas constantes aquellas en las que los importes de capital (términos de la renta) son siempre iguales.
Dentro de las rentas constantes, vamos a distinguir las siguientes modalidades:
Renta temporal pospagable
Renta temporal prepagable
Renta perpetua pospagable
Renta perpetua prepagable
Renta diferida
Renta anticipada
Vamos a comenzar con el estudio de la renta temporal pospagable:
RENTA TEMPORAL POSPAGABLE
Es aquella de duración determinada, en la que los importes de capital se generan al final de cada sub-periodo (p.e. contrato de alquiler por 5 años, con pago del alquiler al final de cada mes).
Para ver como se calcula su valor ("valor capital") vamos a comenzar por el caso más sencillo: el importe de capital en cada periodo es de 1 peseta (renta unitaria). Es decir, tenemos una sucesión finita (de "n" periodos) de importes de 1 peseta.
Periodo | 1 | 2 | 3 | ..... | ..... | ..... | ..... | n-2 | n-1 | n |
Importe (ptas) | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 |
Vamos a calcular su valor actual, que representaremos por Ao. Para ello tenemos que traer cada uno de los importes al momento actual. Aplicaremos la ley de descuento compuesto:
Cf = Co * ( 1 + d ) ^ -t
que es equivalente a:
Cf = Co / ( 1 + d ) ^ t
Vamos a ir descontando cada importe:
Periodo | Importe | Importe descontado |
1 | 1 | 1 / ( 1 + i ) |
2 | 1 | 1 / ( 1 + i )^2 |
3 | 1 | 1 / ( 1 + i )^3 |
..... | ..... | ..... |
..... | ..... | ..... |
n-2 | 1 | 1 / ( 1 + i )^n-2 |
n-1 | 1 | 1 / ( 1 + i )^n-1 |
n | 1 | 1 / ( 1 + i )^n |
La suma de todos los importes descontados es el valor actual Ao. Si realizamos esta suma y simplificamos, llegamos a:
Ao = (1 - (1 + i)^-n)/ i
Veamos un ejemplo: Calcular el valor actual de una renta anual de 1 peseta, durante 7 años, con un tipo de interés del 16%:
Aplicamos la fórmula Ao = (1 - (1 + i)^-n)/ i |
luego, Ao = (1 - (1 + 0,16)^-7)/0,16 |
luego, Ao = 0,6461/0,16 |
luego, Ao = 4,0386 ptas. |
Luego el valor actual de esta renta es 4,04 ptas. |
IMPORTANTE: plazo, tipo de interés e importes han de ir referidos a la misma base temporal. En este ejemplo, como los importes son anuales, hay que utilizar la base anual. Si, por ejemplo, los importes hubieran sido trimestrales, el tiempo y el tipo irían en base trimestral.
Para calcular el valor final de esta renta, que denominaremos Sf, hay que realizar el proceso inverso, es decir, capitalizar todos los importes y llevarlos al momento final. Para ello utilizaremos la ley de capitalización compuesta:
Cf = Co * ( 1 + i) ^ t
Veamos el ejemplo:
Periodo | Importe | Importe capitalizado |
1 | 1 | 1 * ( 1 + i )^n-1 |
2 | 1 | 1 * ( 1 + i )^n-2 |
3 | 1 | 1 * ( 1 + i )^n-3 |
n-2 | 1 | 1 * ( 1 + i )^2 |
n-1 | 1 | 1 * ( 1 + i )^1 |
n | 1 | 1 |
Sumando los distintos importes capitalizados y simplificando, llegamos a:
Sf = ((1 + i)^n - 1) / i
Veamos un ejemplo: Calcular el valor final de una renta anual de 1 peseta, durante 7 años, con un tipo de interés del 16%:
Aplicamos la fórmula Sf = ((1 + i)^n - 1) / i |
luego, Sf = ((1 + 0,16)^7 - 1) / 0,16 |
luego, Sf = 1,8262/0,16 |
luego, Sf = 11,4139 ptas. |
Luego el valor final de esta renta es 11,4 ptas. |
Podemos ver que relación existe entre el valor inicial Ao y el valor final Sf, y esto nos viene dado por la siguiente fórmula:
Sf = Ao (1 + i)^n
Veamos si se cumple en el ejemplo que estamos viendo:
Hemos visto que Ao = 4,0386 ptas. |
y que Sf = 11,4139 ptas. |
Luego 11,4139 = 4,0386* (i+0,16)^7 |
Luego 11,4139 = 4,0386*2,8262 |
Luego 11,4139 = 11,4139 |
Se cumple, por tanto, la relación |
