Función cuadrática
La forma funcional de cada modelo econométrico depende en alguna parte por su forma gráfica, es decir que al reflejar en un esquema bidimensional se puede apreciar la forma y hacerse una idea de la ecuación que se ajusta de mejor manera al modelo que se busca.
Para el caso tomaremos un ejemplo hipotético en el que se toma el esquema de una función de costos totales, donde se sabe que hasta cierto punto en el que la producción aumenta los costos caen dado un nivel de tecnología llegando a un mínimo y a partir de ahí existe un incremento progresivo por cada unidad adicional por tanto se espera una forma parabólica.
La siguiente tabla muestra el valor del costo total Y que se obtiene con un nivel de producción específico X.
x | 200 | 240 | 300 | 400 | 500 | 540 | 600 | 640 | 700 | 800 | 900 | 1000 | 1040 | 1100 | 1200 |
y | 3910 | 3680 | 2990 | 2070 | 2070 | 1380 | 1610 | 1380 | 1725 | 1495 | 2070 | 1840 | 2530 | 2990 | 4025 |
Podemos observar claramente que la tendencia no se ajusta a una recta, esta se plantea como una curva en forma de u, siendo una parábola la ecuación que más se ajusta es cuadrática.
En este caso estamos tratando con una ecuación de la forma
lo que indica que tiene un valor máximo o en su defecto un mínimo.
DESARROLLO
Para el caso de la función cuadrática es necesario aclara que es un caso espacial que se ve en muchos ejemplos económicos, su aplicación es útil para determinar máximos y mínimos.
El procedimiento es el mismo que en el anterior se encuentra
mínimo, se deriva respecto a los coeficientes a, b y c y luego se igualan a cero, para posteriormente simultanearlas, las ecuaciones quedan entonces:
CÁLCULO
El siguiente paso a realizar consiste en obtener los productos y sumatorias indicadas en las tres ecuaciones
X | Y | XY | X2Y | X2 | X3 | X4 | |
200 | 3,910 | 782,000 | 156,400,000 | 40,000 | 8,000,000 | 1,600,000,000 | |
240 | 3,680 | 883,200 | 211,968,000 | 57,600 | 13,824,000 | 3,317,760,000 | |
300 | 2,990 | 897,000 | 269,100,000 | 90,000 | 27,000,000 | 8,100,000,000 | |
400 | 2,070 | 828,000 | 331,200,000 | 160,000 | 64,000,000 | 25,600,000,000 | |
500 | 2,070 | 1,035,000 | 517,500,000 | 250,000 | 125,000,000 | 62,500,000,000 | |
540 | 1,380 | 745,200 | 402,408,000 | 291,600 | 157,464,000 | 85,030,560,000 | |
600 | 1,610 | 966,000 | 579,600,000 | 360,000 | 216,000,000 | 129,600,000,000 | |
640 | 1,380 | 883,200 | 565,248,000 | 409,600 | 262,144,000 | 167,772,160,000 | |
700 | 1,725 | 1,207,500 | 845,250,000 | 490,000 | 343,000,000 | 240,100,000,000 | |
800 | 1,495 | 1,196,000 | 956,800,000 | 640,000 | 512,000,000 | 409,600,000,000 | |
900 | 2,070 | 1,863,000 | 1,676,700,000 | 810,000 | 729,000,000 | 656,100,000,000 | |
1,000 | 1,840 | 1,840,000 | 1,840,000,000 | 1,000,000 | 1,000,000,000 | 1,000,000,000,000 | |
1,040 | 2,530 | 2,631,200 | 2,736,448,000 | 1,081,600 | 1,124,864,000 | 1,169,858,560,000 | |
1,100 | 2,990 | 3,289,000 | 3,617,900,000 | 1,210,000 | 1,331,000,000 | 1,464,100,000,000 | |
1,200 | 4,025 | 4,830,000 | 5,796,000,000 | 1,440,000 | 1,728,000,000 | 2,073,600,000,000 | |
| ∑ | 10,160 | 35,765 | 23,876,300 | 20,502,522,000 | 8,330,400 | 7,641,296,000 | 7,496,879,040,000 |
Con 15 observaciones se tiene un n de 15
Siguiendo el esquema anterior se procede a simultanear las ecuaciones, comenzaremos con (1) y (2)
Simultaneando (1) y (3)
Multiplicando -8.330.400 por la (1) y 15 por la (3)
Sustituyendo este valor en 4 y despejando b tenemos
b= (-5,227,900 – 29,982,576,000(0.009954675))/ 21,730,400
b= -13.97556819
Para encontrar el coeficiente c hay que sustituir en cualquiera de (1), (2) ó (3), tomando la ecuación primera se tiene:
35,765 = 15 a + 10,160 b + 8,330,400 c
35,765 = 15 a + 10,160 (-13.97556819) + 8,330,400 (0.009954675)
35,765 = 15 a -141991.7728 + 82926.42106
a = (35,765+141991.7728- 82926.42106)/15
a = 6322.023448
En consecuencia la ecuación queda
Y(x) = 0.009954675 X2 - 13.97556819 X + 6322.023448
