Distribuciones continuas: Normal (III): Ejercicios
Ejercicio 1º: La renta media de los habitantes de un país es de 4 millones de ptas/año, con una varianza de 1,5. Se supone que se distribuye según una distribución normal. Calcular:
a) Porcentaje de la población con una renta inferior a 3 millones de ptas.
b) Renta a partir de la cual se sitúa el 10% de la población con mayores ingresos.
c) Ingresos mínimo y máximo que engloba al 60% de la población con renta media.
a) Porcentaje de la población con una renta inferior a 3 millones de ptas.
Lo primero que tenemos que hacer es calcular la normal tipificada:
(*) Recordemos que el denominador es la desviación típica ( raíz cuadrada de la varianza)
El valor de Y equivalente a 3 millones de ptas es -0,816.
P (X < 3) = P (Y < -0,816)
Ahora tenemos que ver cuál es la probabilidad acumulada hasta ese valor. Tenemos un problema: la tabla de probabilidades (ver lección 35) sólo abarca valores positivos, no obstante, este problema tiene fácil solución, ya que la distribución normal es simétrica respecto al valor medio.
Por lo tanto:
P (Y < -0,816) = P (Y > 0,816)
Por otra parte, la probabilidad que hay a partir de un valor es igual a 1 (100%) menos la probabilidad acumulada hasta dicho valor:
P (Y > 0,816) = 1 - P (Y < 0,816) = 1 - 0,7925 (aprox.) = 0,2075
Luego, el 20,75% de la población tiene una renta inferior a 3 millones ptas.
b) Nivel de ingresos a partir del cual se sitúa el 10% de la población con renta más elevada.
Vemos en la tabla el valor de la variable tipificada cuya probabilidad acumulada es el 0,9 (90%), lo que quiere decir que por encima se sitúa el 10% superior.
Ese valor corresponde a Y = 1,282 (aprox.). Ahora calculamos la variable normal X equivalente a ese valor de la normal tipificada:
Despejando X, su valor es 5,57. Por lo tanto, aquellas personas con ingresos superiores a 5,57 millones de ptas. constituyen el 10% de la población con renta más elevada.
c) Nivel de ingresos mínimo y máximo que engloba al 60% de la población con renta media
Vemos en la tabla el valor de la variable normalizada Y cuya probabilidad acumulada es el 0,8 (80%). Como sabemos que hasta la media la probabilidad acumulada es del 50%, quiere decir que entre la media y este valor de Y hay un 30% de probabilidad.
Por otra parte, al ser la distribución normal simétrica, entre -Y y la media hay otro 30% de probabilidad. En definitiva, el segmento (-Y, Y) engloba al 60% de población con renta media.
El valor de Y que acumula el 80% de la probabilidad es 0,842 (aprox.), por lo que el segmento viene definido por (-0,842, +0,842). Ahora calculamos los valores de la variable X correspondientes a estos valores de Y.
Los valores de X son 2,97 y 5,03. Por lo tanto, las personas con ingresos superiores a 2,97 millones de ptas. e inferiores a 5,03 millones de ptas. constituyen el 60% de la población con un nivel medio de renta.
Ejercicio 2º: La vida media de los habitantes de un país es de 68 años, con una varianza de 25. Se hace un estudio en una pequeña ciudad de 10.000 habitantes:
a) ¿Cuántas personas superarán previsiblemente los 75 años?
b) ¿Cuántos vivirán menos de 60 años?
a) Personas que vivirán (previsiblemente) más de 75 años
Calculamos el valor de la normal tipificada equivalente a 75 años
Por lo tanto
P (X > 75) = (Y > 1,4) = 1 - P (Y < 1,4) = 1 - 0,9192 = 0,0808
Luego, el 8,08% de la población (808 habitantes) vivirán más de 75 años.
b) Personas que vivirán (previsiblemente) menos de 60 años
Calculamos el valor de la normal tipificada equivalente a 60 años
Por lo tanto
P (X < 60) = (Y < -1,6) = P (Y > 1,6) = 1 - P (Y < 1,6) = 0,0548
Luego, el 5,48% de la población (548 habitantes) no llegarán probablemente a esta edad.
