Cálculo de la aceleración normal o centrípeta

Recordarás que anteriormente dijimos que íbamos a estudiar las aceleraciones tangencial y normal a partir del sencillo gráfico:

Al muñeco de la izquierda ya le conocemos al estudiar la aceleración tangencial o la variación de la velocidad tangencial y quien se encarga de realizarlo en un automóvil.

En el muñeco de la derecha observas que la posición del brazo ha variado produciendo una variación en la dirección de la trayectoria y siendo, en el caso de un coche, el volante quien se encarga de realizarlo.

Al estudiar la aceleración tangencial vimos la relación entre la rapidez o módulo del vector velocidad con el tiempo.

En el caso de la aceleración normal o centrípeta relacionamos el cambio de dirección con el tiempo.

Centrípeta significa: hacia (petus) el centro (centrum).

Las aceleraciones tangencial y normal son perpendiculares.

Normal equivale a perpendicular.

Podemos representarlas gráficamente en dos instantes del tiempo muy próximos por lo que :

Si haces la prueba con una piedra atada a una cuerda y mientras la estás girando, al cambiarle de dirección (mientras continua girando a velocidad constante) notarás que debes añadir un pequeño esfuerzo a causa de la aceleración centrípeta o normal.

Observa las pequeñas modificaciones que realizamos en la figura anterior:

Tienes señalado en la figura de la derecha con color magenta el arco Δe recorrido entre los momentos t1 y t2, es decir, 

Las paralelas correspondientes a los vectores de las velocidades tangenciales y que tienen el mismo módulo pero distintas direcciones las colocamos de modo que nos sea fácil calcular y representar su diferencia:

De las figuras anteriores tomamos:

y si comparamos los dos triángulos que los hemos rellenado verás que son semejantes por tener dos lados perpendiculares y si son semejantes, sus lados son proporcionales.

Tienes que tener presente que el espacio lineal recorrido en un instante cuando    al ser tan pequeño, curva y recta tienden a la misma medida, es decir:

Los valores de  sea en curva o recta tienden al mismo valor, siempre que .

Si los triángulos son semejantes podemos establecer la siguiente proporción teniendo en cuenta que v representa el módulo de   y (tienen el mismo, sólo cambia la dirección):

En toda proporción se verifica que el producto de los extremos es igual al de los medios:

Pasamos R al primer miembro:

Si a los dos miembros los dividimos por la misma cantidad, la igualdad continúa existiendo.

Dividimos a ambos miembros por Δt:

ordenamos y descomponemos el primer miembro en dos factores:

Cuando   tendremos:

Tomando derivadas: 

quedándonos:

Recuerda que la derivada del espacio en función del tiempo equivale a la velocidad, lo mismo que la derivada de la velocidad en función del tiempo es la aceleración.

Si te parece complicada la demostración, no olvides que en Internet encontrarás otros caminos para llegar al mismo resultado.

Otra forma de presentar la fórmula de la aceleración normal:

No nos vamos a extender casi nada, no temas.

Estudiamos anteriormente que el módulo 

No tenemos más que sustituir este valor en:

Paso a paso lo tienes a continuación:

1.113 Un volante de inercia tiene un radio de 40 cm y cuando está girando con una velocidad de 12 rad/s se le aplica el freno que logra pararlo en 6 segundos.

Calcula:

1. el ángulo girado hasta parar
2. la aceleración tangencial
3. la aceleración centrípeta.

Respuestas: 1ª) 36 rad; 2ª) -251,32 cm/s²; 3ª) 56848,92 cm/s²

Solución.

Para saber el ángulo que ha girado necesitamos saber la aceleración angular y para esto hago uso de: 

La velocidad final angular será 0 (por pararse) y la inicial ω₀ la que lleva antes de frenar, sustituyendo valores y haciendo operaciones.

Tenemos en cuenta que la aceleración es negativa:

El ángulo girado durante los 6 segundos que duró la frenada la obtenemos de:

Sustituyendo valores conocidos:

La aceleración tangencial vale: 

La aceleración normal vale:

1.114 ¿Puede producir el conductor de un coche en marcha las aceleraciones tangencial y normal a la vez?

Razona la respuesta.

Respuesta: Sí, cuando se desplaza por una curva siempre que la velocidad no se mantenga constante.

1.115 Imagina un coche en marcha a 100 Km/h con aceleración normal igual a 0, ¿es posible?

Razona la respuesta.

Respuesta: Sí, pero su desplazamiento no será circular sino rectilíneo. En el momento de entrar en una curva nace la aceleración normal.

1.116 Si un coche aumenta su rapidez ¿puedes afirmar que su aceleración tangencial es mayor que cero o que su aceleración normal es mayor que cero?

Respuesta: Sí puedo afirmar que la aceleración tangencial es mayor que cero mientras que la aceleración normal no tiene razón de ser mientras no se modifique su dirección y no el módulo del vector de la velocidad.