Demostración del Teorema de Steiner

Tenemos un sólido como lo vemos en la figura siguiente:

Queremos saber el valor del momento de Inercia cuando al sólido lo giramos alrededor del eje que pasa por el punto O y que es paralelo al eje que pasa por el centro de masas (CM).

Señalamos la partícula dm.

Llevamos la figura anterior al plano sobre un eje de coordenadas cartesianas situando la partícula en el punto (x,y) respecto al origen situado en el punto O y señalamos con una r la distancia existente entre la partícula dm  y el punto O lugar por donde pasa el eje alrededor del cual queremos hallar el momento de Inercia.

Fijamos las coordenadas del centro de masas y las coordenadas (x,y) de la partícula:

Observamos que r es la hipotenusa de un triángulo rectángulo en el que los catetos son x e y:

¿Cuál es el momento de Inercia respecto al punto O?

Aplicamos la fórmula deducida con anterioridad:

Sustituimos r por o lo que es lo mismo: :

Ahora trasladamos el origen de coordenadas (ejes color azul) al centro de masas:

Al nuevo origen de coordenadas le damos los valores de (x’,y’) y no olvides que coincide con el centro de masas.

Volvamos a las coordenadas de la partícula dm que son (x,y) y preguntémonos ¿cuánto valen estas dos componentes referidas al nuevo origen de coordenadas (x’,y’)?

Si te fijas en la figura que tienes a continuación vemos que el  valor de la abscisa de la partícula dm x corresponde a:
y el de la ordenada y es:

Podemos escribir:

Estos valores los sustituimos en (I):

Haciendo operaciones paso a paso tenemos:

Agrupamos términos e integramos cada sumando teniendo en cuenta que conocemos las componentes del centro de masas por lo que al considerarlas constantes las sacamos del integrando:

Analizamos los sumandos:

Primer sumando: , se trata del momento de Inercia referido al centro de masas .