Momento de inercia de un cilindro de una pared gruesa
Como hemos hecho en los casos anteriores lo calcularemos resolviendo el siguiente problema:
2.175 Calcula el momento de Inercia respecto a su eje vertical central de un cilindro de una altura H, un radio más próximo a este eje que vale R1 y el radio más alejado R2 tal como puedes ver en la figura siguiente:
Respuesta:
Solución
En la figura ves que el grueso de pared viene dado por la diferencia R2 – R1.
Nos imaginamos que este grueso está constituido por infinitos cilindros (en la figura solo hemos introducido 3).
Es lógico pensar que cada uno de ellos tiene un espesor o grosor que lo representamos por dr.
Al valor del radio r lo vamos incrementando en dr a medida que nos referimos a cilindros que se van alejando del eje vertical central.
Anteriormente estudiamos que la densidad por unidad de volumen la representamos por 
y equivale a: 
Significa que la densidad de cada partícula equivale a: 
Como 
podemos decir que 
Haciendo operaciones vemos que: 
dV equivale al volumen de cada cilindro de radio r de grueso dr y de una altura (todos iguales) H.
El volumen de un cilindro sabemos que es igual al área de la base (2πr.dr) por la altura (H).
En este caso como tenemos que sumar el volumen de infinitos cilindros utilizamos el diferencial del radio.
Si tuviésemos que calcular el volumen de un cilindro de pared gruesa no tendríamos más que hallar el área de la base cuyo radio será la diferencia del cuadrado del radio exterior R2 y el cuadrado del radio interior R1 por π y por la altura.
Según lo que acabamos de decir podemos escribir y simplificando términos semejantes:
Tomando la fórmula de siempre: 
y aplicándola al caso que estamos tratando tendremos sacando del integrando todas las constantes:
Resolviendo la integral y haciendo operaciones paso a paso tenemos:
