Momento de inercia de una esfera respecto a su dentro de masa
Demostración de su fórmula:
2.177 Calcula el momento de Inercia de una esfera de radio R y masa M respecto al centro de masas IO.
Respuesta:
Solución
En primer lugar hacemos una figura que represente a una esfera en un eje de coordenadas tridimensional:
Tomamos como partida el cálculo del momento de Inercia de una esfera respecto a su centro de masas O.
Como siempre, partimos de 
Sabemos que el volumen de una esfera es 
Aprovechando que tienes una cebolla en casa estudiémosla:
Si la cortamos perpendicularmente a su eje (luego la aprovechas para hacer una buena tortilla de patatas) puedes hallar fácilmente su Radio y por lo tanto su Volumen.
Comprobarás sus envolturas, corazas o capas esféricas.
La Superficie Esférica de cada capa, coraza o envoltura vale:
El radio en esta fórmula es una variable porque cada capa tiene su propio radio.
La derivada del Volumen de la esfera es igual a la Superficie de la misma.
Lo comprobamos de un modo muy sencillo:
La masa por unidad de volumen es 
Derivamos los miembros de la fracción:
Despejamos 
Sustituimos este valor en (I): 
Sacamos del integrando las constantes, hallamos la integral y simplificando, todo ello lo tienes realizado paso a paso:
