Péndulo Simple
Probablemente tenemos la experiencia de habernos encontrado más de una vez con movimientos pendulares parecidos a los que nos muestran las fotografías siguientes:
En la figura vemos un metrónomo (en música marca el compás).
Un reloj de péndulo.
Un columpio.
Tren pendular o el tren que llevando bajo su centro de gravedad se inclina al entrar en una curva lo que le permite hacerlo a más velocidad que los trenes convencionales.
Si a una masa que llamamos péndulo que cuelga de un hilo y la alejamos de su posición de reposo para seguidamente soltarla, oscilará de un lado a otro de su vertical o de su punto de equilibrio.
En la siguiente figura tenemos en (I) un hilo con su péndulo colgando y en (II) empujándolo a un extremo tratando de vencer a una fuerza que se opone al desplazamiento:
Otros aspectos a tener en cuenta son:
1: De un punto fijo del que está sujeta una cuerda o una varilla de longitud l y de su extremo inferior cuelga una masa correspondiente al péndulo, generalmente metálica a la que también llamamos lenteja (en los relojes) hemos de tener en cuenta que tanto la cuerda como la varilla son inextensibles (salvo dilataciones) y no tenemos en cuenta sus masas.
2: Si trasladamos el péndulo a un lado y lo soltamos aparece una fuerza recuperadora o restauradora que le hace trasladarse en sentido opuesto.
3: La trayectoria que describe el péndulo en su movimiento de ida y vuelta corresponde a un arco de circunferencia, en este caso, de radio l.
Hemos dibujado la cuerda correspondiente a este arco.
La amplitud (A’ o A) es la distancia que hay entre el punto (rojo) de equilibrio y la vertical de la masa en su máxima elongación.
Aunque la representación gráfica del péndulo que tienes a continuación la encuentres un poco rara no te extrañe.
Estamos de acuerdo con que el tamaño de la masa es muy pequeño y la cuerda muy larga.
Procura entender bien lo que lees y después, posiblemente, no la encontrarás tan extraña.
Al vector que representa el peso del péndulo: P = m.g le descomponemos en otras dos fuerzas sus componentes horizontal y vertical del mismo modo que lo hemos venido haciendo en numerosas ocasiones anteriores.
Quizá te haya extrañado que llamemos componente horizontal a lo que vemos que no es muy horizontal. Tratemos de aclararlo.
En esta figura tienes en (A) un péndulo en tres momentos de su movimiento. De esta figura tomamos lo señalado en gris (su mitad) y lo ampliamos.
Es conveniente que te fijes en (I) y compruebes que la distancia x, es decir, la distancia entre la posición del péndulo en su extremo izquierdo y su centro tiene una diferencia muy apreciable, con un ángulo de 51º, con el arco s que describe el péndulo en su trayectoria.
¿Recuerdas cuando estudiaste en Geometría la sagita?
Se trata del pequeño segmento que une el centro de un arco de circunferencia con el punto medio de su correspondiente cuerda (lo hemos dibujado con color rojo).
Al reducir el ángulo a 24º en (II), la diferencia entre las longitudes de x y s se han reducido bastante lo mismo que el tamaño de la sagita.
Si reducimos el ángulo a 12º (III), x y s se han aproximado, la sagita es casi inexistente.
Ahora, observa bien los valores de los senos correspondientes a los 20 primeros ángulos en radianes:
Habrás comprobado que apenas hay diferencias, al menos, en ángulos de 1, 2, 3, 4, 5 grados, entre su valor en radianes y los valores de sus senos.
Conviene tener en cuenta que:
Lo comprobamos con la circunferencia siguiente:
La longitud del arco correspondiente a una circunferencia de 72,11 mm de radio y un arco central de 2,09 radianes lo podemos calcular con una simple regla de tres:
Como ves, una longitud de circunferencia de 
corresponden a un ángulo de 
radianes que tiene una vuelta completa.
A 2,09 radianes le corresponderá una longitud de circunferencia de x mm.
Para los cálculos no hemos hecho nada más que multiplicar el radio por el ángulo expresado en radianes.
Según lo estudiado hasta aquí podemos decir que:
Siempre que el ángulo expresado en radianes sea muy pequeño.
Lo representamos del siguiente modo:
Tomamos la componente horizontal 
Sustituimos 
por su valor 
en la igualdad anterior
obteniendo 
Regreso al movimiento armónico simple:
Cuando la cuerda, el hilo o la varilla forme un ángulo pequeño con la vertical podemos referirnos al M.A.S (Movimiento Armónico Simple) que ya lo has estudiado en Cinemática.
Cuando el móvil se desplaza a lo largo del eje de abscisas y su desplazamiento está en función del tiempo estamos refiriéndonos al M.A.S.
En Cinemática estudiamos que el período T es el tiempo que tarda el móvil en pasar dos veces por el mismo punto (ida y vuelta) y su valor nos viene dado por:
donde 2π es el espacio (recuerda la circunferencia trigonométrica y comprobamos la representación gráfica del seno en una amplitud entre – 1 y +1).
ω es la velocidad angular, pulsación o frecuencia angular que nos conviene conocer su valor.
Esta última fórmula no es más que 
Para conocer ω vamos a recordar lo estudiado en Cinemática que la posición de un móvil en un M.A.S en función del tiempo es:
En la figura, el ángulo φ es de desfase.
Si derivamos ambos miembros 
en función del tiempo tendremos:
Derivada de la distancia o espacio recorrido es la velocidad:
Hallamos la segunda derivada de esta última expresión y de este modo obtenemos el valor de la aceleración:
El término situado a la derecha del igual: 
puedo realizar la sustitución de 
por su valor que
Si sabemos el valor de la aceleración podemos calcular la Fuerza sabiendo que la masa es m: 
¿Te acuerdas de la constante k cuando estudiamos la ley de Hooke?
También los muelles o resortes oscilan creando un movimiento armónico y vemos la validez de su fórmula 
estudiando el péndulo.
Nos encontramos con que 
Establecemos la igualdad y simplificamos:
Anteriormente hemos obtenido 
En el segundo miembro de la igualdad tenemos, para un mismo péndulo, tres constantes: la masa , g (atracción de la Tierra) y l (longitud del hilo, cable, etc., del péndulo).
Agrupamos en k a estas constantes y escribimos: 
y sustituimos este valor en (II): 
Simplificando por x nos queda: 
Hemos llegado a obtener dos valores de k:
Igualando ambas expresiones y simplificando tenemos:
Como ya sabemos el valor de ω lo sustituimos en 
y haciendo operaciones paso a paso llegamos a:
2.208 Imagina que vives en Noruega y tienes en tu casa un buen reloj de péndulo. Si vas a vivir a Guinea Ecuatorial con todos tus bienes, incluido el reloj de péndulo ¿qué le pasará a éste en tu nueva residencia?
Respuesta: Se atrasa
Solución
Sabemos que g en la zona ecuatorial vale 9,79 m/s2 y 9,83 m/s2 en los polos, aproximadamente.
Si ahora vives en Guinea Ecuatorial el cociente 
de la fórmula
vale más que en Noruega porque el valor de g ha disminuido.
Esto significa que el valor de T también aumenta.
Si T nos señala los segundos quiere decir que en la zona del Ecuador “los segundos son más largos”, los minutos también lo serán, etc… lo que significa que el reloj se atrasa.
