Ecuación algebraica

Una ecuación algebraica es una igualdad entre dos polinomios:

2x + 3y = 2z

Los números que van multiplicando a las incógnitas (2x + 3y = 2z) se denominan coeficientes o parámetros de la ecuación.

Las letras (2x + 3y = 2z) son las incógnitas que hay que despejar.

Estas ecuaciones se clasifican en función del número de variables independientes y del máximo grado (exponente) de las mismas. Así tenemos:

a) En función del número de incógnitas:

Ecuación de una incógnita:

3x + 7 = 3x

Ecuación de dos incógnitas:

3x + 7y = 3

Ecuación de tres o más incógnitas:

3x + 7y – 3z = 9

b) En función del grado:

Ecuación de primer grado:

3x + 7y = 3

Ecuación de segundo grado:

3x² + 7y = 3

Ecuación de tercer grado (hasta grado “n”):

3x³ + 7y + 2z²= 3

Forma canónica

La forma canónica de una ecuación algebraica es aquella representación de la ecuación en la que todos los términos de la ecuación se sitúan en uno de los miembros de la ecuación quedando el otro miembro igual a cero. El miembro en el que se agrupan todos los términos de la ecuación de ordena de mayor a menor grado.

La ecuación: 3x + 7y³ – 3z² = 9

Representada en forma canónica: 7y³ – 3z² + 3x – 9 = 0

Podemos ver como todos los términos de la ecuación los hemos pasado al miembro de la izquierda, quedando el miembro derecho igual a cero. En el miembro de la izquierda hemos ordenado los términos de mayor a menor grado.

Para presentar una ecuación en forma canónica hay que operar con la misma, aplicando unas reglas determinadas (que ya vimos en la lección anterior) que nos permiten pasar los términos de un miembro de la ecuación al otro.

Operaciones con los términos de una ecuación

Vamos a repasar estas normas:

a) Los términos que están en un miembro sumando pasan al otro miembro restando; y viceversa: los que están restando pasan al otro miembro sumando:

Veamos un ejemplo:

3x + 7y³ – 3z² = 9

El término independiente 9, que está en el miembro de la derecha con signo positivo, pasa al miembro de la izquierda con signo negativo:

7y³ – 3z² + 3x – 9 = 0

Veamos otro ejemplo:

4x = – 7z³

El término – 7z³, que está en el miembro de la derecha con signo negativo pasa al miembro de la izquierda con signo positivo:

4x + 7z³ = 0

b) Los coeficientes/términos que están en un miembro multiplicando pasan al otro miembro dividiendo (sin cambiar de signo) y viceversa, los que están dividiendo pasan al otro miembro multiplicando:

Veamos un ejemplo:

4x = 8

El coeficiente 4, que multiplica a la x, pasa al miembro de la derecha dividiendo:

x= 2

Otro ejemplo:

El coeficiente 2, que divide a la x, pasa al miembro de la derecha multiplicando:

x = 3 * 2

x = 6

c) Si se multiplica o divide ambos términos de la ecuación por un mismo número o término la ecuación no varía.

Veamos un ejemplo:

Multiplicamos los dos miembros por 4:

8x + 28 = 2x – 8

Esta operación nos ha permitido eliminar los denominadores.

Resolución una ecuación algebraica

Resolver una ecuación es encontrar aquellos valores de las incógnitas que haga que la ecuación se cumpla.

Para resolver una ecuación el proceso es ir simplificándola hasta conseguir despejar la incógnita.

Veamos un ejemplo:

a) Quitamos los paréntesis: si hubiera paréntesis interiores y exteriores comenzaríamos con los paréntesis interiores.

En el ejemplo comenzamos eliminando los paréntesis interiores:

Y a continuación eliminamos los paréntesis exteriores:

b) Simplificación: en cualquier momento de la resolución de una ecuación en la que tengamos en el mismo miembro términos que tengan las mismas incógnitas y en el mismo grado procedemos a su agregación:

En el miembro de la izquierda tenemos 6x + 12x que sustituimos por 18x:

c) Quitamos los denominadores:

Ahora ya podemos eliminar los denominadores (es lo mismo que si multiplicáramos los dos miembros de la ecuación por 5):

90x - 60 = 45 - 3x

d) Trasposición: todos los términos en los que aparece la incógnita los situamos en el mismo miembro de la ecuación (normalmente en el izquierdo), mientras que los términos independientes los situamos en el otro miembro de la ecuación (el derecho).

90x + 3x = 45 + 60

e) Simplificación: volvemos a simplificar:

93x = 105

Podemos seguir simplificando, ya que tanto 93 como 103 son múltiplos de 3, por lo que podemos dividir ambos miembros por 3:

31x = 35

Atención:

Cuando simplifiquemos dividiendo ambos miembros de la ecuación por una expresión que contenga una incógnita tenemos que ser precavidos, ya que podemos estar eliminando soluciones.

Veamos un ejemplo:

y·x = x tiene dos soluciones: y = 1 y x = 0.

Pero si simplificamos dividiendo ambos miembros por “x” la ecuación quedaría:

y = 1

Tendríamos una única solución; habríamos perdido la solución x = 0

f) Despejar: tenemos que dejar la incógnita sola en el miembro de la izquierda: el coeficiente que la multiplica pasa al otro miembro dividiendo.

x = 1,13

g) Comprobación: una vez resuelta la ecuación es importante proceder a su comprobación (sustituir las incógnitas por la solución para ver si se cumple la igualdad). Esto nos permite detectar si hemos cometido algún error en el procedimiento.