Ecuación de segundo grado con una incógnita

La ecuación de segundo grado con una incógnita se denomina también ecuación cuadrática. En ella la incógnita figura en algún término elevada al cuadrado:

3x² – 7 = 2x + 5

Su forma canónica es:

ax² + bx + c = 0

Siendo “a ≠ 0” y “c” el término independiente.

Resolución

Para resolver una ecuación de segundo grado con una incógnita hay que operar con ella para escribirla en su forma canónica:

Para ello vamos a utilizar un ejemplo:

3x² – 5 + 3x = 2x + 2 - x²

a) Pasamos todos los términos al miembro de la izquierda. Recordemos que al pasar un término de un miembro a otro de la ecuación cambia su signo:

3x² – 5 + 3x - 2x - 2 + x²= 0

b) Simplificamos y ordenamos lo términos de mayor a menor grado:

4x² + x -7 = 0

Atención: si el coeficiente de x² fuera negativo se multiplican los 2 miembros por -1 para convertirlo en positivo.

c) Se despeja la incógnita:

1ª solución:

$x subíndice 1 igual fracción numerador menos b más raíz cuadrada de b al cuadrado fin raíz menos 4 a c entre denominador 2 a fin fracción$

2ª solución:

$x subíndice 2 igual fracción numerador menos b menos raíz cuadrada de b al cuadrado menos 4 a c fin raíz entre denominador 2 a fin fracción$

Aplicando esto al ejemplo anterior tendríamos:

1ª solución:

$x subíndice 1 igual fin subíndice fracción numerador menos 1 más raíz cuadrada de abrir paréntesis 1 cerrar paréntesis fin raíz al cuadrado menos 4 producto asterisco 4 producto asterisco abrir paréntesis menos 7 cerrar paréntesis entre denominador 2 producto asterisco 4 fin fracción igual 1.2038$

2ª solución:

$x subíndice 2 igual fracción numerador menos 1 menos raíz cuadrada de abrir paréntesis 1 cerrar paréntesis fin raíz al cuadrado espacio menos 4 producto asterisco 4 producto asterisco abrir paréntesis menos 7 cerrar paréntesis entre denominador 2 producto asterisco 4 fin fracción igual 1.4538$

d) Una vez calculadas las soluciones es importante verificar en la ecuación si hacen cumplir la igualdad. Esto nos permitirá detectar errores:

3x² – 5 + 3x = 2x + 2 - x²

1ª solución: x₁ = 1,2038

3*(1,2038)² – 5 + 3*(1,2038) = 2*(1,2038) + 2 - (1,2038)²

2,96 = 2,96

2ª solución: x₁ = -1,4538

3*(-1,4538)² – 5 + 3*(-1,4538) = 2*(-1,4538) + 2 - (-1,4538)²

-3,02 = -3,02

Número de soluciones

En las ecuaciones de segundo grado con una incógnita puede haber:

2 soluciones: existen x₁y x₂

1 solución: existen x₁y x₂pero son iguales

Ninguna solución: no se pueden calcular x₁y x₂

Analizando el radicando $raíz cuadrada de b al cuadrado fin raíz menos 4 a c$ podemos saber el número de soluciones:

a) si $b al cuadrado mayor que 4 a c$ entonces el radicando es positivo y $raíz cuadrada de b al cuadrado menos 4 a c fin raíz$ se puede resolver. En este supuesto la ecuación tiene 2 soluciones.

b) si $b al cuadrado menor que 4 a c espacio$ entonces el radicando es cero por lo que $raíz cuadrada de b al cuadrado menos 4 a c fin raíz$ también es cero. En este supuesto la ecuación tiene 1 solución.

c) si $b al cuadrado menor que 4 a c$ entonces el radicando es negativo y $raíz cuadrada de b al cuadrado menos 4 a c espacio fin raíz$ no se puede resolver en el conjunto de los números reales R . En este supuesto la ecuación no tiene solución.