Ecuación polinómica irracional
La ecuación polinómica irracional (o ecuación con radicales) es aquella en la que al menos una incógnita figura como radicando de una raíz.
Siendo p(x) y q(x) dos polinomios.
Veamos un ejemplo:
Para resolver este tipo de ecuaciones se deja sólo un radical en uno de los miembros de la ecuación y el resto de la ecuación en el otro miembro (donde puede haber otros radicales).
Se elevan al grado de la raíz ambos miembros; de esta manera conseguimos eliminar la raíz del primer miembro.
Si la ecuación tiene más radicales se repite este proceso (aislando cada vez un radical en uno de los miembros de la raíz y elevando ambos miembros al grado de ese radical para hacerlo desaparecer) tantas veces como sea necesario hasta conseguir eliminar todos los radicales.
Una vez que se calculen las soluciones hay que comprobar que son válidas en la ecuación inicial ya que en el procedimiento seguido para eliminar radicales elevamos la ecuación a una potencia, con lo que podemos obtener soluciones de la ecuación inicial junto a otras que no lo sean.
Ejemplo 1º
Vemos que sí hace cumplir la igualdad, por lo que la solución calculada (x1 = 8,3333) sí es solución de la ecuación original.
Ejemplo 2º
Aislamos el radical en el primer miembro de la ecuación:
Elevamos ambos miembros al cuadrado:
Hemos eliminado el radical del primer miembro de la ecuación. Continuamos simplificando:
Multiplicamos ambos miembros por (-1) para dejar en positivo el término de mayor grado 
Resolvemos como una ecuación de segundo grado con una incógnita:
-0,768 = -7
La primera solución (x1 = 6,308) sí hace cumplir la igualdad de la ecuación inicial por lo que sí es solución de la misma. En cambio la segunda (x2 = 1,942) no hace cumplir dicha igualdad por lo que no es solución de la ecuación inicial.
Ejemplo 3º
a) Como la incógnita figura en el denominador comprobamos que cumple la condición de existencia:
Calculamos los valores que hacen 0 el denominador donde figura la incógnita:
x - 7 = 0
x = 7
Las soluciones calculadas (x1 = 2,487 y x2 = -16,487) son ≠ 7
b) Comprobamos en la ecuación inicial si estas soluciones hacen cumplir la igualdad:
-1 = 1
La primera solución no hace cumplir la igualdad de la ecuación por lo que no es una solución válida.
La segunda solución tampoco hace cumplir la igualdad de la ecuación por lo que no es una solución válida.
Ejemplo 4º
En este ejemplo figuran 2 radicales. Hay que eliminar ambos pero secuencialmente: primero eliminamos uno y luego el otro.
Dejamos el primer radical sólo en el primer miembro de la ecuación pasando todo lo demás al segundo miembro de la ecuación. A continuación elevamos al cuadrado.
Hemos eliminado el radical del primer miembro de la ecuación. Tenemos que eliminar ahora el segundo radical, pero primero simplificamos:
Dejamos sólo el radical en el primer miembro de la ecuación:
Elevamos ambos miembros al cuadrado:
Comprobamos si esta solución hace cumplir la igualdad de la ecuación inicial:
No cumple la igualdad por lo que x1 = 4 no es solución de la ecuación inicial.
Ejemplo 5º
En este ejemplo figuran 3 radicales. Hay que eliminar los tres pero secuencialmente: primero eliminamos uno y así sucesivamente.
Dejamos el primer radical sólo en el primer miembro de la ecuación pasando todo lo demás al segundo miembro de la ecuación. A continuación elevamos al cuadrado.
Simplificamos pasando todos los términos al miembro de la izquierda:
Dejamos nuevamente el radical sólo en el primer miembro de la ecuación pasando todo lo demás al segundo miembro de la ecuación. A continuación elevamos al cuadrado.
Resolvemos:
Son raíces de número negativos que no tienen solución. Por lo tanto la segunda solución no hace cumplir la igualdad de la ecuación por lo que no es una solución válida.
