Ejercicios (Continuación)
Ejemplo 5º
x – 3y = 5
3x – 9y = -4
Representar gráficamente:
a) Método de sustitución:
x – 3y = 5
3x – 9y = -4
En la primera ecuación despejamos la “x”
x – 3y = 5
x = 5 + 3y
Sustituimos en la segunda ecuación:
3x – 9y = -4
3*(5 + 3y) – 9y = -4
15 + 9y - 9y = -4
15 = -4
Se trata de una igualdad que no se puede cumplir. Por lo tanto no encontramos ningún valor de “y” que haga cumplir la igualdad de la ecuación.
A no poder calcular “y1” no podemos calcular tampoco “x1”.
b) Método de igualación:
Despejamos la “x” en ambas ecuaciones:
1ª ecuación:
x – 3y = 5
x = 5 + 3y
2ª ecuación:
3x – 9y = -4
3x = -4 + 9y
x = (-4 + 9y) / 3
Igualamos las dos expresiones
5 + 3y = (-4 + 9y) / 3
15 + 9y = -4 + 9y
15 = -4
Como vimos con el método anterior, se trata de una igualdad imposible.
c) Método de reducción:
x – 3y = 5
3x – 9y = -4
Vamos a eliminar la incógnita “x” y para ello a la primera ecuación le restamos la segunda, pero previamente vamos a multiplicar ambos miembros de la primera ecuación por 3 para que la incógnita “x” tenga el mismo coeficiente en ambas ecuaciones.
La primera ecuación queda:
3x – 9y = 15
Procedemos a restar:
3x – 9y = 15
3x – 9y = -4
-----------------
0 = 19
Nuevamente nos encontramos con una igualdad imposible.
Ejemplo 6º
3x + 2y = 0
5y – 2x = 0
Representar gráficamente:
a) Método de sustitución:
3x + 2y = 0
5y – 2x = 0
En la primera ecuación despejamos la “x”
3x + 2y = 0
3x = -2y
x = -2y / 3
Sustituimos “x” en la segunda ecuación:
5y – 2x = 0
5y – 2*(-2y / 3) = 0
5y + 4y / 3 = 0
15y + 4y = 0
y1 = 0
Calculamos “x”:
x = -2y / 3
x = -2*0 / 3
x1 = 0
Por lo tanto la solución de este sistema línea de ecuaciones es el par de valores (x1 = 0; y1 = 0)
Comprobamos en el sistema de ecuaciones si estos dos valores hacen cumplir simultáneamente ambas igualdades:
3x + 2y = 0
5y – 2x = 0
Sustituyendo las incógnitas por las soluciones:
1ª ecuación:
3*0 + 2*0 = 0
0 = 0
2ª ecuación:
5y – 2x = 0
5*0 – 2*0 = 0
0 = 0
b) Método de igualación:
3x + 2y = 0
5y – 2x = 0
Despejamos la “x” en ambas ecuaciones:
1ª ecuación:
3x + 2y = 0
x = -2y / 3
2ª ecuación:
5y – 2x = 0
x = 5y / 2
Igualamos las dos expresiones
-2y / 3 = 5y / 2
-4y = 15y
19y = 0
y1 = 0
Calculamos “x1”:
x = -2y / 3
x1 = -2*0 / 3= 0
c) Método de reducción:
3x + 2y = 0
5y – 2x = 0
Vamos a eliminar la incógnita “x” y para ello a la primera ecuación le restamos la segunda, pero previamente vamos a multiplicar ambos miembros de la primera por -2 (coeficiente de la incógnita “x” en la segunda ecuación) y ambos miembros de la segunda por 3 (coeficiente de la incógnita “x” en la primera ecuación).
El sistema de ecuaciones queda (la ordenamos para que las incógnitas figuren en el mismo orden:
- 6x - 4y = 0
– 6x + 15y= 0
Procedemos a restar:
- 6x - 4y = 0
– 6x + 15y= 0
-----------------
0x – 19y = 0
Despejamos “y”:
y1 = 0 / (-19) = 0
Despejamos “x1” en la primera ecuación:
3x + 2y = 0
3x + 2*0 = 0
x1 = 0 / 3 = 0
Ejemplo 7º
3x – 6y = 0
2x = 3
Representar gráficamente:
a) Método de sustitución:
3x – 6y = 0
2x = 3
En la segunda ecuación despejamos la “x”
2x = 3
x = 2 / 2 = 1,5
Sustituimos “x” en la primera ecuación:
3x – 6y = 0
3*1,5 – 6y = 0
y1 = 4,5 / 6 = 0,75
Conocemos ya el valor de “x”:
x1 = 1,5
Por lo tanto la solución de este sistema línea de ecuaciones es el par de valores (x1 = 1,5; y1 = 0,75)
Comprobamos en el sistema de ecuaciones si estos dos valores hacen cumplir simultáneamente ambas igualdades:
3x – 6y = 0
2x = 3
Sustituyendo las incógnitas por las soluciones:
1ª ecuación:
3*1,5 – 6*0,75 = 0
0 = 0
2ª ecuación:
2*1,5 = 3
3 = 3
b) Método de igualación:
3x – 6y = 0
2x = 3
Despejamos la “x” en ambas ecuaciones:
1ª ecuación:
3x – 6y = 0
x = 6y / 3 = 2y
2ª ecuación:
2x = 3
x = 1,5
Igualamos las dos expresiones
2y = 1,5
y1 = 1,5 / 2 = 0,75
Antes, al despejar la “x” en la segunda ecuación calculamos ya el valor de “x1”:
x1 = 1,5
c) Método de reducción:
3x – 6y = 0
2x = 3
Vamos a eliminar la incógnita “x” y para ello a la primera ecuación le restamos la segunda, pero previamente vamos a multiplicar ambos miembros de la primera por 2 (coeficiente de la incógnita “x” en la segunda ecuación) y ambos miembros de la segunda por 3 (coeficiente de la incógnita “x” en la primera ecuación).
6x - 12y = 0
6x = 9
-----------------
0x – 12y = -9
Despejamos “y”:
y1 = -9 / (-12) = 0,75
Despejamos “x1” en la segunda ecuación:
2x = 3
x1 = 3 / 2 = 1,5
Ejemplo 8º
y = 5
6x - y = 4
Representar gráficamente:
a) Método de sustitución:
y = 5
6x - y = 4
En la primera ecuación tenemos ya el valor de “y”
y1 = 5
Sustituimos “y” en la segunda ecuación:
6x - y = 4
6x - 5 = 4
x1 = 9 / 6 = 1,5
Por lo tanto la solución de este sistema línea de ecuaciones es el par de valores (x1 = 1,5; y1 = 5)
Comprobamos en el sistema de ecuaciones si estos dos valores hacen cumplir simultáneamente ambas igualdades:
y = 5
6x - y = 4
Sustituyendo las incógnitas por las soluciones:
1ª ecuación:
5 = 5
2ª ecuación:
6*1,5 - 5 = 4
4 = 4
b) Método de igualación:
y = 5
6x - y = 4
Despejamos la “y” en ambas ecuaciones:
1ª ecuación:
y = 5
2ª ecuación:
6x - y = 4
y = 6x - 4
Igualamos las dos expresiones
6x - 4 = 5
x1 = 9 / 6 = 1,5
También conocemos “y1”:
y1 = 5
c) Método de reducción:
y = 5
6x - y = 4
Vamos a eliminar la incógnita “y”. Para ello a la primera ecuación le sumamos la segunda, ya que en ambas ecuaciones esta incógnita tiene el mismo coeficiente pero con signo contrario.
y = 5
6x - y = 4
-----------------
6x = 9
Despejamos la “x”:
x1 = 9 / 6 = 1,5
También conocemos ya la “y1”:
y1 = 5
Ejemplo 9º
5x – y = 5
x = y
Representar gráficamente:
a) Método de sustitución:
5x – y = 5
x = y
En la segunda ecuación tenemos ya despejada la “x”:
x = y
Sustituimos “x” en la primera ecuación:
5x – y = 5
5y – y = 5
y1 = 5 / 4 = 1,25
Calculamos el valor de “x”:
x1 = 1,25
Por lo tanto la solución de este sistema línea de ecuaciones es el par de valores (x1 = 1,25; y1 = 1,25)
Comprobamos en el sistema de ecuaciones si estos dos valores hacen cumplir simultáneamente ambas igualdades:
5x – y = 5
x = y
Sustituyendo las incógnitas por las soluciones:
1ª ecuación:
5x – y = 5
5*1,25 – 1,25 = 5
5 = 5
2ª ecuación:
x = y
1,25 = 1,25
b) Método de igualación:
5x – y = 5
x = y
Despejamos la “y” en ambas ecuaciones:
1ª ecuación:
y = 5x - 5
2ª ecuación:
y = x
Igualamos las dos expresiones
5x - 5 = x
x1 = 5 / 4 = 1,25
Calculamos “y1”:
y1 = x = 1,25
c) Método de reducción:
5x – y = 5
x = y
Vamos a eliminar la incógnita “y”. Para ello comenzamos por situar en la segunda ecuación todas las incógnitas en el miembro de la izquierda. Este sistema de ecuación quedaría:
5x – y = 5
x – y = 0
A la primera ecuación le restamos la segunda.
5x – y = 5
x – y = 0
-----------------
4x = 5
Despejamos “x”:
x1 = 5 / 4 = 1,25
En la segunda ecuación despejamos “y1”:
x = y
1,25 = y1
Ejemplo 10º
(4x + 3) / 4 – 3y/5 = 5/4
(2x +4)/5 + 7y/2 = 6 /3
Comenzamos por simplificar estas ecuaciones:
1ª ecuación:
(4x + 3) / 4 – 3y/5 = 5/4
5*(4x + 3) / 20 – 4*3y/20 = 5*5/20
20x + 15 – 12y = 25
20x – 12y = 10
Dividimos por 2 ambos miembros:
10x – 6y = 5
2ª ecuación:
(2x + 4)/5 + 7y/2 = 6 /3
6*(2x + 4)/30 + 15*7y/30 = 10*6 /30
12x +24 + 105y = 60
12x + 105y = 36
Dividimos por 3 ambos miembros:
4x + 35y = 12
El sistema de ecuaciones quedaría:
10x – 6y = 5
4x + 35y = 12
Representar gráficamente:
a) Método de sustitución:
10x – 6y = 5
4x + 35y = 12
En la primera ecuación despejamos la “x”:
10x – 6y = 5
10x = 5 + 6y
x = (5 + 6y) / 10
Sustituimos “x” en la segunda ecuación:
4x + 35y = 12
4*((5 + 6y) / 10) + 35y = 12
(10 + 12y) / 5 + 35y = 12
10 + 12y + 175y = 60
187y = 50
y1 = 50 / 187 = 0,2674
Calculamos el valor de “x”:
x = (5 + 6y) / 10
x = (5 + 6*0,2674) / 10
x1 = 0,6604
Por lo tanto la solución de este sistema línea de ecuaciones es el par de valores (x1 = 0,6604; y1 = 0,2674)
Comprobamos en el sistema de ecuaciones si estos dos valores hacen cumplir simultáneamente ambas igualdades:
(4x + 3) / 4 – 3y/5 = 5/4
(2x +4)/5 + 7y/2 = 6 /3
Sustituyendo las incógnitas por las soluciones:
1ª ecuación:
(4*0,6604 + 3) / 4 – 3*0,2674/5 = 5/4
1,25 = 1,25
2ª ecuación:
(2*0,6604 +4)/5 + 7*0,2674/2 = 6 /3
2 = 2
b) Método de igualación:
10x – 6y = 5
4x + 35y = 12
Despejamos la “x” en ambas ecuaciones:
1ª ecuación:
10x – 6y = 5
x = (5 + 6y) / 10
2ª ecuación:
4x + 35y = 12
x = (12 - 35y) / 4
Igualamos las dos expresiones
(5 + 6y) / 10 = (12 - 35y) / 4
2*(5 + 6y) / 20 = 5*(12 - 35y) / 20
10 + 12y = 60 - 175y
187y = 50
y1 = 50 / 187 = 0,2674
Calculamos “x1”:
x = (5 + 6y) / 10
x = (5 + 6*0,2674) / 10
x1 = 0,6604
c) Método de reducción:
10x – 6y = 5
4x + 35y = 12
Vamos a eliminar la incógnita “x”. Para ello multiplicamos los dos miembros de la primera ecuación por 2 y los dos miembros de la segunda ecuación por 5, de esta manera conseguimos que la incógnita “x” tenga el mismo coeficiente en ambas ecuaciones.
El sistema de ecuaciones quedaría:
20x – 12y = 10
20x + 175y = 60
A la primera ecuación le restamos la segunda:
20x – 12y = 10
20x + 175y = 60
-----------------
-187y = -50
Despejamos “y”:
y1 = 50 / 187 = 0,2674
En la segunda ecuación despejamos “x”:
x = (5 + 6y) / 10
x = (5 + 6*0,2674) / 10
x1 = 0,6604
