Ejercicios
A continuación veremos diferentes ejemplos de ecuaciones de tercer grado resueltas mediante la Regla de Ruffini:
1er ejemplo
x3 + 3x2 - 2x - 2 = 0
Vamos a probar con aquellos valores que sean divisores del término independiente “2”: ±1 y ±2
Vemos que el resto es 0 por lo que x = 1 es una raíz de esta ecuación, la cual se puede escribir:
x3 + 3x2 - 2x - 2 = (x – 1) * (x2 + 4x + 2)
Atención: como el valor de la raíz es p = 1, el primer factor de la descomposición es (x – p), es decir (x – 1).
Vemos si el segundo factor (x2 + 4x + 2) se puede seguir descomponiendo. Aplicamos nuevamente la Regla de Ruffini probando con aquellos valores que sean divisores del término independiente “2”: ±1 y ±2 pero no encontramos ninguna raíz exacta por lo que no podemos seguir descomponiendo la ecuación.
Por lo tanto la ecuación inicial la hemos conseguido descomponer en un factor de primer grado (x – 1) y otro de segundo grado (x2 + 4x + 2).
x3 + 3x2 - 2x - 2 = (x – 1) * (x2 + 4x + 2)
Para que la ecuación sea igual a cero basta con que algunos de los factores (x – 1) o (x2 + 4x + 2) sea igual a cero. Vamos a igualar cada uno de estos factores a cero y el valor de “x” que lo cumpla será solución de la ecuación.
a) x – 1 = 0
x1 = 1
b) x2 + 4x + 2 = 0
La resolvemos aplicando el método de resolución de ecuaciones de segundo grado con una incógnita.
1ª solución: x2 =
2ª solución: x3 =
Hemos calculado por tanto 3 raíces reales:
x1 = 1
x2 = -0,5857
x3 = -3,4142
Una vez calculadas las raíces es importante verificar siempre que cumplen la igualdad de la ecuación ya que esto nos permitirá localizar errores:
x3 + 3x2 - 2x - 2 = 0
1ª raíz: x1 = 1
(1)3 + 3*(1)2 – 2*(1) - 2 = 0
0 = 0
2ª raíz: x1 = -0,5857
(-0,5857)3 + 3*(-0,5857)2 – 2*(-0,5857) - 2 = 0
0 = 0
3ª raíz: x1 = -3,4142
(-3,4142)3 + 3*(-3,4142)2 – 2*(-3,4142) - 2 = 0
0 = 0
2º ejemplo
4x3 - 2x2 - 4x + 2 = 0
Vamos probando con aquellos valores que sean divisores del término independiente “2”: ±1 y ±2
Vemos que el resto es 0 por o que x = 1 es una raíz de esta ecuación, que podemos escribir:
4x3 - 2x2 - 4x + 2 = (x – 1) * (4x2 + 2x - 2)
Vamos a ver si el segundo factor (4x2 + 2x - 2) se puede seguir descomponiendo. Aplicando nuevamente la Regla de Ruffini probamos con aquellos valores que sean divisores del término independiente “2”: ±1 y ±2
El segundo factor se puede descomponer:
4x2 + 2x – 2 = (x + 1) * (4x – 2)
La ecuación inicial:
4x3 - 2x2 - 4x + 2 = 0
Se puede descomponer:
4x3 - 2x2 - 4x + 2 = (x – 1) * (x + 1) * (4x – 2)
Por lo tanto:
(x – 1) * (x + 1) * (4x – 2) = 0
Sabemos que un producto es igual a 0 cuando cualquiera de sus factores es igual a 0. Vamos igualando cada factor a 0 para calcular las raíces:
1ª raíz
x – 1 = 0
x1 = 1
2ª raíz
x + 1 = 0
x2 = -1
3ª raíz
4x – 2= 0
4x = 2
x3 = 2 / 4
x3 = 0,5
Hemos calculado por tanto 3 raíces reales. Vamos a verificar que cumplen la igualdad de la ecuación:
4x3 - 2x2 - 4x + 2 = 0
1ª raíz: x1 = 1
4*(1)3 – 2*(1)2 – 4*(1) + 2 = 0
0 = 0
2ª raíz: x2 = -1
4*(-1)3 – 2*(-1)2 – 4*(-1) + 2 = 0
0 = 0
3ª raíz: x3 = 0,5
4*(0,5)3 – 2*(0,5)2 – 4*(0,5) + 2 = 0
0 = 0
3er ejemplo
x3 - 3x2 = 4x - 6
Lo primero que tenemos que hacer es escribirla en forma canónica:
x3 - 3x2 - 4x + 6 = 0
Vamos probando con aquellos valores que sean divisores del término independiente “2”: ±1, ±2 y ±3
Por lo tanto:
x3 - 3x2 - 4x + 6 = (x – 1) * (x2 - 2x - 6)
Vemos si el segundo factor también se puede descomponer. Aplicando la Regla de Ruffini no encontramos ninguna raíz exacta por lo que habríamos terminado la descomposición de la ecuación en una ecuación de primer grado (x – 1) y otra de segundo grado (x2 - 2x - 6).
Un producto es igual a 0 cuando cualquiera de sus factores es igual a 0. Vamos igualando cada factor a 0 para calcular las raíces:
1ª raíz:
x – 1 = 0
x1 = 1
2ª y 3ª raíz:
x2 - 2x – 6 = 0
Calculamos:
1ª solución: x2 =
2ª solución: x3 =
Hemos calculado por tanto 3 raíces reales. Vamos a verificar que cumplen la igualdad de la ecuación:
x3 - 3x2 = 4x - 6
1ª raíz: x1 = 1
(1)3 – 3*(1)2 = 4*(1) - 6
-2 = -2
2ª raíz: x2 = 3,646
4*(3,646)3 – 2*(3,646)2 – 4*(3,646) + 2 = 0
8,583 = 8,583
3ª raíz: x3 = -1,646
4*(-1,646)3 – 2*(-1,646)2 – 4*(-1,646) + 2 = 0
-12,58 = -12,58
4º ejemplo
x3 + 2x2 = 3
Lo primero que hacemos es escribirla en forma canónica:
x3 + 2x2 – 3 = 0
Se trata de una ecuación incompleta (falta el término con grado 1) pero podemos aplicar la Regla de Ruffini. Para ello la escribimos con todos los términos (al término que falta le ponemos coeficiente 0).
x3 + 2x2 + 0x – 3 = 0
Vamos probando con aquellos valores que sean divisores del término independiente “3”: ±1 y ±3
Por lo tanto:
x3 + 2x2 + 0x – 3 = (x – 1) * (x2 + 3x + 3)
Vemos si el segundo factor también se puede descomponer. Aplicando la Regla de Ruffini no encontramos ninguna raíz exacta por lo que habríamos terminado la descomposición de la ecuación en una ecuación de primer grado (x – 1) y otra de segundo grado (x2 + 3x + 3).
Un producto es igual a 0 cuando cualquiera de sus factores es igual a 0. Vamos igualando cada factor a 0 para calcular las raíces:
1ª raíz:
x – 1 = 0
x1 = 1
2ª y 3ª raíz:
x2 + 3x + 3 = 0
Calculamos:
2ª solución: x2 =
en el conjunto de los número reales sino en el de los números complejos:
3ª solución: x3 =
en el conjunto de los número reales sino en el de los números complejos:
Hemos calculado 1 raíz real y 2 raíces complejas. Vamos a verificar que la raíz real cumple la igualdad de la ecuación:
x3 + 2x2 = 3
1ª raíz: x1 = 1
(1)3 + 2*(1)2 = 3
3 = 3
