Ejercicios
Ejemplo 1º
2x + 3y = 4
x - 2y = 5
Representar gráficamente:
a) Método de sustitución:
En la segunda ecuación despejamos la “x”
x = 5 + 2y
Sustituimos en la primera ecuación:
2*(5 + 2y) + 3y = 4
10 + 4y + 3y = 4
7y = -6
y1 = -6 / 7 = -0,8571
Calculamos “x”:
x = 5 + 2y
x1 = 5 + 2*(-0,8571) = 3,2857
Por lo tanto la solución de este sistema línea de ecuaciones es el par de valores (x1 = 3,2857; y1 = -8,5714)
Comprobamos en el sistema de ecuaciones si estos dos valores hacen cumplir simultáneamente ambas igualdades:
2x + 3y = 4
x - 2y = 5
Sustituyendo las incógnitas por las soluciones:
1ª ecuación:
2*(3,2857) + 3*(-0,8571) = 4
4 = 4
2ª ecuación:
x - 2y = 5
3,2857 - 2*(-0,8571) = 5
5 = 5
b) Método de igualación:
Despejamos la “x” en ambas ecuaciones:
1ª ecuación:
2x + 3y = 4
x = (4 – 3y)/2
2ª ecuación:
x - 2y = 5
x = 5 + 2y
Igualamos las dos expresiones
(4 – 3y)/2 = 5 + 2y
4 – 3y = 10 + 4y
7y = -6
y1 = -6 / 7 = -0,8571
Calculamos “x1”:
x = (4 – 3y)/2
x1 = (4 – 3*(-0,8571))/2 = 3,2857
c) Método de reducción:
2x + 3y = 4
x - 2y = 5
Vamos a eliminar la incógnita “x” y para ello a la primera ecuación le restamos la segunda, pero previamente vamos a multiplicar ambos miembros de la segunda por el coeficiente que la incógnita “x” tiene en la primera ecuación (2).
La segunda ecuación queda:
2x - 4y = 10
Procedemos a restar:
2x + 3y = 4
2x - 4y = 10
-----------------
0x + 7y = -6
Despejamos “y”:
7y = -6
y1 = -6 / 7 = -0,8571
Despejamos “x1” en la primera ecuación:
2x + 3y = 4
x = (4 – 3y) / 2
x1 = (4 – 3*(-0,8571))/2 = 3,2857
Ejemplo 2º
2x + 3 = 3y
4x - 5y = 1
Representar gráficamente:
a) Método de sustitución:
En la primera ecuación despejamos la “x”
2x + 3 = 3y
2x = 3y -3
x = (3y – 3) / 2
Sustituimos en la segunda ecuación:
4x - 5y = 1
4*((3y – 3) / 2) - 5y = 1
6y – 6 - 5y = 1
y1 = 7
Calculamos “x”:
x = (3y – 3) / 2
x = (3*(7) – 3) / 2
x1 = 9
Por lo tanto la solución de este sistema línea de ecuaciones es el par de valores (x1 = 9; y1 = 7)
Comprobamos en el sistema de ecuaciones si estos dos valores hacen cumplir simultáneamente ambas igualdades:
2x + 3 = 3y
4x - 5y = 1
Sustituyendo las incógnitas por las soluciones:
1ª ecuación:
2*9 + 3 = 3*7
21 = 21
2ª ecuación:
4x - 5y = 1
4*9 – 5*7 = 1
1 = 1
b) Método de igualación:
Despejamos la “x” en ambas ecuaciones:
1ª ecuación:
2x + 3 = 3y
2x = 3y -3
x = (3y – 3) / 2
2ª ecuación:
4x - 5y = 1
4x = 1 + 5y
x = (1 + 5y) / 4
Igualamos las dos expresiones
(3y – 3) / 2 = (1 + 5y) / 4
6y – 6 = 1 + 5y
y1 = 7
Calculamos “x1”:
x = (3y – 3) / 2
x1 = (3*7 – 3) / 2 = 9
c) Método de reducción:
2x + 3 = 3y
4x - 5y = 1
Vamos a eliminar la incógnita “x” y para ello a la primera ecuación le restamos la segunda, pero previamente vamos a multiplicar ambos miembros de la primera ecuación por 2 para que la incógnita “x” tanga el mismo coeficiente en ambas ecuaciones.
La primera ecuación queda:
4x + 6 = 6y
Procedemos a restar:
4x + 6 = 6y
4x - 5y = 1
-----------------
0x + 6 + 5y = 6y - 1
Despejamos “y”:
y1 = 7
Despejamos “x1” en la primera ecuación:
2x + 3 = 3y
x = (3y - 3) / 2
x1 = (3*7 - 3) / 2 = 9
Ejemplo 3º
4x/5 – 3y/2 = 5
2x/6 + 7y = 6
Representar gráficamente:
a) Método de sustitución:
Comenzamos por simplificar las ecuaciones para eliminar los denominadores:
1ª ecuación:
4x/5 – 3y/2 = 5
2*4x/10 – 5*3y/10 = 10*5/10
8x – 15y = 50
2ª ecuación:
2x/6 + 7y = 6
2x/6 + 6*7y/6 = 6*6/6
2x + 42y = 36
x + 21y = 18
Por lo tanto, el sistema de ecuación simplificado queda:
8x – 15y = 50
x + 21y = 18
En la segunda ecuación despejamos la “x”
x + 21y = 18
x = 18 - 21y
Sustituimos en la primera ecuación:
8x – 15y = 50
8*(18 - 21y) – 15y = 50
144 - 168y – 15y = 50
-183y = -94
y1 = 0,5137
Calculamos “x”:
x = 18 - 21y
x = 18 – 21*(0,5137)
x1 = 7,2131
Por lo tanto la solución de este sistema línea de ecuaciones es el par de valores (x1 = 7,2131; y1 = 0,5137)
Comprobamos en el sistema de ecuaciones si estos dos valores hacen cumplir simultáneamente ambas igualdades:
4x/5 – 3y/2 = 5
2x/6 + 7y = 6
Sustituyendo las incógnitas por las soluciones:
1ª ecuación:
4*(7,2131)/5 – 3*(0,5137)/2 = 5
5 = 5
2ª ecuación:
2x/6 + 7y = 6
2*(7,2131)/6 + 7*(0,5137) = 6
6 = 6
b) Método de igualación:
Trabajamos con el sistema de ecuación simplificado:
8x – 15y = 50
x + 21y = 18
Despejamos la “x” en ambas ecuaciones:
1ª ecuación:
8x – 15y = 50
8x = 50 + 15y
x = (50 + 15y) / 8
2ª ecuación:
x + 21y = 18
x = 18 – 21y
Igualamos las dos expresiones:
(50 + 15y) / 8 = 18 – 21y
50 + 15y = 144 – 168y
183y = 94
y1 = 94 / 183 = 0,5137
Calculamos “x1”:
x = 18 – 21y
x1 = 18 – 21*0,5137 = 7,2131
c) Método de reducción:
8x – 15y = 50
x + 21y = 18
Vamos a eliminar la incógnita “x” y para ello a la primera ecuación le restamos la segunda, pero previamente vamos a multiplicar ambos miembros de la segunda por 8 para que la incógnita “x” tenga el mismo coeficiente en ambas ecuaciones.
La segunda ecuación queda:
8x + 168y = 144
Procedemos a restar:
8x – 15y = 50
8x + 168y = 144
-----------------
0x - 183y = -94
Despejamos “y”:
y1 = 94 / 183 = 0,5137
Despejamos “x1” en la primera ecuación:
x + 21y = 18
x + 21*0,5137 = 18
x1 = 7,2131
Ejemplo 4º
3x – 2y = 7
6x – 4y = 14
Representar gráficamente:
a) Método de sustitución:
3x – 2y = 7
6x – 4y = 14
En la primera ecuación despejamos la “x”
3x – 2y = 7
3x = 7 + 2y
x = (7 + 2y) / 3
Sustituimos en la segunda ecuación:
6x – 4y = 14
6*((7 + 2y) / 3) – 4y = 14
14 + 4y -4y = 14
0 = 0
Se trata de una identidad que se cumple para cualquier valor de “y”.
Para cada valor de “y” la incógnita “x” toma el valor:
x = (7 + 2y) / 3
Hay por tanto infinitas soluciones: cada valor que tome la incógnita ”y”, la variable “x” tomará un valor en función de la fórmula anterior. Cada uno de estos infinitos pares de valores (x, y) hacen cumplir la igualdad de este sistema de ecuaciones.
b) Método de igualación:
Despejamos la “x” en ambas ecuaciones:
1ª ecuación:
3x – 2y = 7
3x = 7 + 2y
x = (7 + 2y) / 3
2ª ecuación:
6x – 4y = 14
6x = 14 + 4y
x = (14 + 4y) / 6
Igualamos las dos expresiones
(7 + 2y) / 3 = (14 + 4y) / 6
14 + 4y = 14 + 4y
0 = 0
Se trata de una identidad que se cumple para cualquier valor de “y”.
c) Método de reducción:
3x – 2y = 7
6x – 4y = 14
Vamos a eliminar la incógnita “x” y para ello a la primera ecuación le restamos la segunda, pero previamente vamos a multiplicar ambos miembros de la primera ecuación por 2 para que la incógnita “x” tenga el mismo coeficiente en ambas ecuaciones.
La primera ecuación queda:
6x – 4y = 14
Procedemos a restar:
6x – 4y = 14
6x – 4y = 14
-----------------
0 = 0
