Método de Cardano
b) Método de Cardano
Si una ecuación de tercer grado no la podemos descomponer aplicando la Regla de Ruffini utilizaremos para su resolución el Método de Cardano.
En primer lugar vamos a analizarlo desde un punto de vista operativo para que el estudiante pueda aplicarlo.
A continuación, por si al estudiante le puede interesar, vamos a exponer todo su desarrollo, que es bastante complejo (cómo se llega desde la ecuación inicial a la obtención de las soluciones).
b.1.- Análisis operativo
Partimos de la ecuación cúbica:
ax3 + bx2 + cx + d = 0
Sustituimos los coeficientes:
La ecuación queda definida:
x3 + jx2 + kx + l = 0
Realizamos las siguientes sustituciones:
Hacemos un cambio de variable:
La ecuación inicial queda:
z3 + pz + q = 0
Que se denomina ecuación cúbica reducida. Las tres soluciones de esta ecuación son:
Una vez conocidas z1, z2 y z3 aplicamos la conversión:
Y calculamos x1, x2 y x3, que son las soluciones de la ecuación de tercer grado.
La aplicación de este método presenta una dificultad cuando al calcular la 1ª raíz resulta que el radicando es negativo:
Ya que la raíz cuadrada de un número negativo no tiene solución en el conjunto de los números reales. Estos casos se denominan “casos irreducibles”.
Se puede dar la paradoja de que ecuaciones que resolvemos al aplicar la Regla de Ruffini, y que calculamos 3 raíces reales, al aplicar el método de Cardano nos encontremos con este radicando negativo y no podamos seguir adelante.
Para solucionar esta dificultad del método de Cardano se aplica la fórmula de Moivre, tal como veremos en los ejemplos 5º, 6º y 7º.
Número de soluciones de la ecuación
Comentábamos que la ecuación de tercer grado tiene 3 soluciones, si bien no todas tienen que ser números reales (eso sí, al menos 1 si lo es).
El radicando del desarrollo anterior nos permite saber qué tipo de soluciones tiene la ecuación:
Si la ecuación posee una solución real y dos complejas.
Si la ecuación posee tres raíces reales. De las que 2 son iguales.
Si resulta que p = q = 0 entonces las tres raíces reales son iguales.
Si la ecuación posee tres raíces reales.
b.2.- Desarrollo completo del método de Cardano
Partimos de la ecuación cúbica:
ax3 + bx2 + cx + d = 0
Dividimos todos los coeficientes por el coeficiente del término de tercer grado “a”:
La ecuación queda:
Sustituimos los coeficientes:
Con lo que la ecuación queda definida de la siguiente manera:
x3 + jx2 + kx + l = 0
La ecuación queda:
Operamos:
La ecuación queda:
En rojo marcamos dos términos que se anulan:
Por lo que la ecuación queda sin el término z2:
En el siguiente paso marcamos en amarillo y en verde términos que podemos agrupar:
La ecuación queda:
Realizamos las siguientes sustituciones:
La ecuación queda:
z3 + pz + q = 0
Forma que se denomina ecuación cúbica reducida.
Sustituimos en esta ecuación la incógnita: z = u + v
La ecuación queda:
Esta ecuación se hace cero si se cumplen las dos condiciones siguientes:
Es un sistema de 2 ecuaciones con 2 incógnitas cuyas soluciones son:
Obtenemos la primera solución:
De esta forma obtenemos la primera solución (raíz de la ecuación). Pero al ser una ecuación de tercer grado significa que tiene 3 soluciones por lo que vamos a calcular las otras 2 soluciones.
Para encontrar las otras 2 soluciones se divide la ecuación cúbica reducida entre z – z1. La división es exacta ya que z1 es solución de z3 + pz + q = 0.
Dividiendo:
Una multiplicación es igual a 0 cuando cualquiera de los factores es igual a 0:
Del primer factor sabemos que si z = z1 la ecuación vale cero.
Si igualamos el segundo factor a 0:
z2 + z1z + (z12 + p) = 0
Es una ecuación de segundo grado con las siguientes soluciones:
Con lo que ya tendríamos las 3 soluciones de la ecuación:
A partir de estas tres soluciones tenemos que calcular las soluciones “x” de la ecuación inicial. Tenemos que:
Luego:
