Métodos de resolución de su sistema de dos ecuaciones con dos incógnitas
Vamos a ver tres métodos para resolver un sistema de ecuaciones lineales, utilizando como ejemplo el siguiente sistema de ecuaciones:
4x – 3y = 5
2x + 7y = 6
1. Método de sustitución: escribiremos una de las variables en función de la otra.
Tomando la 1ª ecuación:
4x – 3y = 5
4x = 5 + 3y
x = (5 + 3y) / 4
Ya tenemos definida la primera incógnita en función de la segunda incógnita.
Ahora vamos a la segunda ecuación y sustituimos la incógnita “x” por su definición:
2x + 7y = 6
2 * ((5 + 3y) / 4) + 7y = 6
Ahora tenemos una ecuación de primer grado con una sólo incógnita.
(5 + 3y) / 2 + 7y = 6
Seguimos despejando: multiplicamos todos los términos de ambos lados de la ecuación por 2.
2 * ((5 + 3y) / 2 + 2 * 7y = 2 * 6
Y simplificamos eliminando el denominador del primer término.
5 + 3y + 14y = 12
y = 7 / 17 = 0,4117
Como ya conocemos el valor de “y” podemos calcular el valor de “x”:
x = (5 + 3y) / 4
x = (5 + 3 * 0,4117) / 4 = 1,5588
Por lo tanto, las soluciones de este sistema de ecuaciones son:
x1 = 1,5588
y1 = 0,4117
17y= 7
Atención: hemos utilizado la primera ecuación y hemos definido la variable “x” en función de la variable “y”, sustituyendo luego en la segunda ecuación la variable “x” por su definición.
También podíamos haber hecho esto utilizando la segunda ecuación, definiendo la variable “x” en función de la variable “y”, sustituyendo luego en la primera ecuación la variable “x” por su definición.
Igualmente, en lugar de la variable “x” podíamos haber definido la variable “y”, sustituyéndola luego en la ecuación.
Cualquier alternativa es válida. Lo apropiado es elegir aquella ecuación en la que sea más fácil despejar una incógnita.
2. Método de igualación
Para ello vamos a despejar la misma incógnita en ambas ecuaciones:
4x – 3y = 5 luego x = (5 + 3y) / 4
2x + 7y = 6 luego x = (6 – 7y) / 2
Como en ambos casos las expresiones despejadas son iguales a la incógnita “x”, también deben ser iguales entre sí:
(5 + 3y) / 4 = (6 – 7y) / 2
Despejando:
(5 + 3y) / 2 = (6 – 7y)
5 + 3y = (6 – 7y) * 2
5 + 3y = 12 – 14y
3y + 14y = 12 – 5
17y = 7
Luego, y = 7 / 17 = 0,4117
Por lo que:
x = (5 + 3y) / 4 = (5 + 3 * 0,4117) / 4 = 1,5588
3. Método de reducción
Este método consiste en restar a la primera ecuación la segunda con el objeto de eliminar una incógnita y quedarnos tan solo con la otra incógnita.
Este método requiere un paso previo: hay que determinar qué incógnita queremos eliminar (es preferible aquella que tenga los coeficientes más bajos).
Tenemos que conseguir que la incógnita a eliminar tenga el mismo coeficiente en las dos ecuaciones para que al restarle a una ecuación la otra esta incógnita desaparezca. Una posibilidad es multiplicar la 1ª ecuación (sus dos miembros) por el coeficiente que esta incógnita tenga en la segunda ecuación, y a continuación multiplicar la 2ª ecuación (sus dos miembros) por el coeficiente que tenga esta incógnita en la primera ecuación.
En el ejemplo que estamos viendo:
4x – 3y = 5
2x + 7y = 6
Vamos a eliminar la incógnita “x”. La incógnita “x” tiene de coeficiente 2 en la segunda ecuación, por lo que vamos a multiplicar los miembros de la 1ª ecuación por 2:
(4x * 2) – (3y * 2) = (5 * 2)
8x – 6y = 10
Ahora vamos a hacer lo mismo con la 2ª ecuación, vamos a multiplicar sus dos miembros por el coeficiente que tiene la incógnita a eliminar en la 1ª ecuación, es decir por 4.
(2x * 4) +(7y * 4) = (6 * 4)
8x + 28y = 24
Ahora vamos a restarle a la primera ecuación la segunda, quedando eliminada una incógnita.
Luego: y = -14 / (-34) = 0,4117
Despejamos en cualquiera de las 2 ecuaciones el valor de “x”:
4x – 3y = 5
4x – 3 x 0,4117 = 5
4x = 6,2352 = 1,5588
