Regla de Ruffini
Métodos de resolución de ecuaciones de tercer grado con una incógnita:
a) Regla de Ruffini
Este método consiste en descomponer la ecuación en factores de primer y segundo grado, y para ello se divide el polinomio entre un binomio de la forma “x – p”.
Una vez calculados estos factores se igualan a cero y se resuelven independientemente como si fueran ecuaciones de primer y segundo grado.
ax3 + bx2 + cx + d = 0
Descomponemos:
ax3 + bx2 + cx + d = (x – p) * (ex2 + fx + g)
Cuando realizamos esta descomposición aplicando Ruffini el resto tiene que ser 0.
Seguimos descomponiendo el segundo factor:
ex2 + fx + g = (x – q) * (x - r)
La ecuación inicial la podemos expresar:
ax3 + bx2 + cx + d = (x – p) * (x – q) * (x - r)
Por lo tanto:
(x – p) * (x – q) * (x - r) = 0
Igualamos cada factor a 0 obteniendo las raíces (soluciones) de la ecuación:
x – p= 0; obtenemos la 1ª raíz: x1 = p
x – q= 0; obtenemos la 2ª raíz: x2 = q
x – r= 0; obtenemos la 3ª raíz: x3 = r
Puede que en la descomposición que vimos anteriormente aplicando Ruffini tan sólo consigamos llegar a:
ax3 + bx2 + cx + d = (x – p) * (ex2 + fx + g)
En este caso igualaríamos a 0 los dos factores: del primer factor obtendríamos 1 raíz y el segundo factor lo resolveríamos aplicando el método de resolución de ecuaciones de 2º grado, obteniendo 2 raíces.
Importante: para aplicar Ruffini hay que expresar la ecuación en su forma canónica, ordenado el polinomio de mayor a menor grado; si falta algún grado se pone con coeficiente cero.
Como la división tiene que ser exacta esto solo se va a cumplir con aquellos valores de “p” que sean divisores del término independiente.
Según el Teorema del Resto: el valor que toma un polinomio cuando x = p es igual al resto que se obtiene al dividir ese polinomio entre “x – p”.
Por lo tanto, si la división es exacta (resto = 0) quiere decir que ese polinomio es igual a 0 cuando x = p, luego “p” es una solución de la ecuación.
Ventajas e inconvenientes del método Ruffini
La Regla de Ruffini es muy útil de aplicar cuando al menos una solución de la ecuación es un número entero, ya que ésta será fácil de encontrar: tiene que ser obligatoriamente divisor del término independiente de la ecuación.
Para aplicar la Regla de Ruffini hay que localizar la primera solución aplicando el método de prueba y error: probaremos valores hasta que uno de ellos haga que el resto sea igual a 0. Si la solución es un número entero el número de prueba es limitado (por ejemplo, si el término independiente de la ecuación es 6 probaremos con ± 1, ± 2, ± 3, ± 6; en total 8 intentos).
Localizada esta solución nos permite descomponer el polinomio de tercer grado en el producto de un polinomio de primer grado y de otro de segundo grado (que trataremos de seguir descomponiendo).
El problema surge cuando ninguna raíz es un número entero ya que el número de posibilidades que habría que probar sería ilimitado (± 0,1, ± 0,15, ± 0,15, ± 0,25, ± 0,0002… ; todos ellos divisores del término independiente). No es que esta regla no se pueda aplicar en estos casos sino que resulta muy difícil localizar la primera solución.
Por ello, cuando no encontremos ningún número entero que sea solución de la ecuación dejaremos Ruffini y aplicaremos un segundo método para resolver estas ecuaciones: el Método de Cardano (que analizaremos en lecciones siguientes).
