Máximo Común Divisor

El máximo común divisor (MCD) de dos (o más) números es aquel divisor que es común a ambos números; y en caso de que hubiera varios, el mayor de ellos.

Ejemplo: Veamos los divisores de 10 y de 15:

Divisores de 10: 2, 5 y 10

Divisores de 15: 3, 5 y 15

¿Cuales son comunes? En este ejemplo sólo el 5 es divisor de ambos números, luego 5 es el Máximo Común Divisor de 10 y de 15.

Otro ejemplo: Veamos los divisores de 40 y de 50:

Divisores de 40: 2, 4, 5, 8, 10, 20 y 40

Divisores de 50: 2, 5, 10, 25 y 50

En este ejemplo hay varios divisores comunes (2, 5 y 10). El mayor de ellos es el 10, luego es el Máximo Común Divisor.

Hemos visto, por tanto, que para hallar el Máximo Común Divisor hay que empezar por ver cuáles son los divisores de los números, ver cuáles son comunes y seleccionar el mayor.

Otra forma de hallar el Máximo Común Divisor de dos (o más) números es descomponer los números factorialmente:

40 = 2x2x2x5 = 23x 5

50 = 2 x 5 x 5 = 2 x 52

Seleccionamos aquellos factores que sean comunes, y de ellos aquel que tenga el menor exponente:

2 es un factor común a ambos números. En la descomposición de 40 figura 2³, mientras que en la de 50 figura 5² tan sólo como 2; seleccionamos por tanto 2.

5 también es un factor común a ambos números. En la descomposición de 40 figura como 5, mientras que en la de 50 figura 5²: seleccionamos por tanto 5.

Ya tenemos los dos factores comunes con sus mínimos exponentes; luego el Máximo Común Divisor (MCD) será 2 x 5 = 10.

Veamos otros ejemplos:

Vamos a hallar el MCD de 35, 60 y 95:

35 = 5 x 7

60 = 22 x 3 x 5

95 = 5 x 19

El único factor común a los tres números es 5, luego el MCD = 5.

Vamos a hallar el MCD de 54, 48 y 36:

54 = 2 x 3³

48 = 2 x 3

36 = 22 x 3²

Los factores comunes con los mínimos exponentes son el 2 y el 3, luego el MCD = 2 x 3 = 6