Números Enteros
Los números enteros incluyen tanto los números naturales que ya conocemos (0, 1, 2, 3….), como los números negativos (-1, -2, -3…)
El valor opuesto de un número entero es el mismo número pero con el signo cambiado:
El opuesto de -3 es 3
El opuesto de 5 es -5
El valor absoluto de un número entero es su valor sin considerar el signo. El valor absoluto de un número entero se expresa |3|.
Ejemplo:
|1| = 1
|-1| = 1
Vemos que un número (1) y su negativo (-1) tienen el mismo valor absoluto.
Al ordenar los números enteros de menor a mayor primero van lo negativos y luego los positivos:
... -5 < -4 < -3 < -2 < -1 < 0 < 1 < 2 < 3 < 4 < 5 …
Operaciones con números enteros
a) Suma:
Si todos son números enteros positivos se suman igual que los números naturales.
(+4) +(+ 5) + (+6) = 15
(*) Hemos puesto los números dentro de paréntesis con signos positivos para recalcar que son enteros positivos, pero esta suma realmente se escribiría: 4 + 5 + 6 = 15
Si todos son números enteros negativos se suman sus valores absolutos y al resultado se le pone el signo negativo.
(- 5) + (-7) + (- 4) = |5| + |7| + |4| = |16| = -16
Si hay números enteros positivos y negativos:
(+ 4) + (- 5) + (+2) + (- 9)
Por un lado sumamos los números positivos:
(+ 4) + (+2) = 6
Por otro lado sumamos los números negativos:
(-5)+ (-9) = |5| + |9| = -14
Ahora se restan ambos resultados. Se pone como minuendo el valor absoluto mayor |14|y como sustraendo el valor absoluto menor |6|.
14 – 6 = 8
El resultado de la resta tendrá el signo del minuendo (-14), luego:
(+ 4) + (- 5) + (+2) + (- 9) = -8
b) Resta:
(+4) – (+5) – (-6)
La resta de números enteros se puede tratar como una suma. Para ello sustituimos el signo de la resta (-) por el de la suma (+) pero al hacer esta sustitución tenemos también que cambiar el signo del número que va restando:
(5) es positivo, pero como lleva delante el signo de la resta se convierte en (-5).
(-6) es negativo, pero como lleva delante el signo de la resta se convierte en (6).
La operación queda como una suma:
(+ 4) + (- 5) + (+ 6)
Ahora procedemos igual que en la suma.
Por un lado sumamos los números positivos:
(+ 4) + (+ 6) = 10
Por otro lado sumamos los números negativos:
(- 5) = - 5
Ahora se restan ambos resultados. Se pone como minuendo el de mayor valor absoluto |10|y como sustraendo el de menor valor absoluto |5|.
10 – 5 = 5
El resultado de la resta tendrá el signo del minuendo (10), luego:
4 – (5) – (-6) = 5
c) Sumas y restas:
(+ 7) - (- 5) + (-2) - (+ 9)
Aquellos números que vayan restando sustituimos el signo de la resta por el de la suma y al número le cambiamos el signo:
(+ 7) + (+ 5) + (-2) + (- 9)
Ahora procedemos igual que en la suma.
Por un lado sumamos los números positivos:
(+ 7) + (+ 5) = 12
Por otro lado sumamos los números negativos:
(- 2) + (- 9) = - 11
Ahora se restan ambos resultados. Se pone como minuendo el de mayor valor absoluto |12| y como sustraendo el de menor valor absoluto |11|.
12 – 11 = 1
El resultado de la resta tendrá el signo del minuendo (12), luego:
(+ 7) - (- 5) + (-2) - (+ 9) = 1
Veamos otro ejemplo:
(+ 2) - (- 7) - (+2) - (- 9)
Sustituimos los signos de resta por el de suma pero cambiando el signo del valor que va restando:
(+ 2) + (+ 7) + (-2) + (+ 9)
Sumamos los números positivos:
(+ 2) + (+ 7) + (+ 9) = 18
Sumamos los números negativos:
(- 2)
Restamos los valores absolutos:
|18| - |2| = 16
Como el minuendo es positivo el resultado es también positivo
d) Multiplicación
Para multiplicar números enteros se multiplican sus valores absolutos, como si fueran números naturales, pero a continuación hay que prestar atención al signo del resultado:
- Si todos los factores son positivos el resultado es positivo.
- Si hay factores negativos hay que distinguir:
- Si el número de factores negativos es par el resultado es positivo.
- Si el número de factores negativos es impar el resultado es negativo.
Veamos algunos ejemplos:
( + 3) x (+ 4) = |3| x |4| = 12 (todos los factores son positivos)
( + 3) x (- 4) = |3| x |4|= -12 (hay un factor negativo: luego el número de factores negativos es impar)
(- 3) x (- 4) = |3| x |4|= 12 (hay dos factores negativos: el número de factores negativos es par, por lo que el resultado es positivo)
Veamos más ejemplos:
(+ 2) x (+ 6) x (+5) = |2| x |6| x |5|= 60
(+ 2) x (+ 6) x (-5) = |2| x |6| x |5|= -60
(+ 2) x (- 6) x (-5) = |2| x |6| x |5|= 60
(- 2) x (- 6) x (-5) = |2| x |6| x |5|= -60
e) División
En la división se opera igual que en la multiplicación de números enteros: se dividen los valores absolutos, igual que cuando operamos con números naturales, y a continuación hay que ver el signo del resultado:
- Si dividendo y divisor tienen el mismo signo (lo dos positivos o los dos negativos) el resultado es positivo.
- Si dividendo y divisor tienen distinto signo (uno es positivo y otro es negativo) el resultado es negativo.
Ejemplos:
(+8) : (+4) = |8| x |4|= 2
(-8) : (-4) = |8| x |4|= 2
(+8) : (-4) = |8| x |4|= -2
(-8) : (+4) = |8| x |4|= -2
f) Potencia
La base puede ser un número entero positivo o negativo, pero el exponente siempre tiene que ser positivo.
El valor absoluto de la base se eleva a la potencia, igual que con los números naturales, pero hay que prestar atención al signo:
- Si la base es positiva el resultado siempre es positivo.
- Si la base es negativa el signo depende del exponente:
- Si el exponente es un número par el resultado es positivo
- Si el exponente es un número impar el resultado es negativo.
Ejemplo:
(+3)2=9
(+3)2 =27
Ejemplo:
(-3)2=9 (es lo mismo que (-3) x (-3), el número de factores es par)
(-3)3=-27 (es lo mismo que (-3) x (-3) x-(3), el número de factores es impar)
(-3)4 =81
(-3)5 =-243
