Sistema de Ecuaciones
a) Ecuación de primer grado con 2 incógnitas
Son ecuaciones del tipo:
4a + 3b = 7
Son ecuaciones que tienen infinitas soluciones. Para cada valor que tome una de ellas, la otra tomará un valor diferente que cumple la igualdad:
b) Sistemas de ecuaciones lineales
Es un conjunto de 2 ecuaciones de primer grado con 2 incógnitas. Las soluciones calculadas deben cumplir la igualdad de las 2 ecuaciones.
A diferencia del caso anterior ya no hay infinitas soluciones sino un número limitado de valores de las variables “a” y “b” que cumplen ambas igualdad.
Veamos un ejemplo:
4a - 3b = 5
2a + 7b = 6
Se trata de calcular pares de valores de “a” y “b” que cumplen ambas igualdades.
Vamos a ver tres métodos para resolver un sistema de ecuaciones lineales:
1.- Vamos a utilizar un método, denominado "método de sustitución", para solucionar estos sistemas de ecuaciones. Para ello escribiremos una de las variables en función de la otra.
Tomando la 1a ecuación:
4a — 3b = 5
4a = 5 + 3b
a =(5+3b)/4
Ya tenemos definida la primera incógnita en función de la segunda incógnita.
Ahora vamos a la segunda ecuación y sustituimos la incógnita "a" por su
definición:
2a + 7b = 6
2 x ((5 + 3b) / 4) + 7b = 6
(5 + 3b) / 2 + 7b = 6
Ahora tenemos una ecuación de primer grado con una sola incognita.
Seguimos despejando.
(5 + 3b) / 2 t 7b = 6
Multiplicamos todos los términos de ambos lados de la ecuación por 2.
(((5 ÷ 3b)/ 2) x 2) + (7b x 2)= (6 x2)
Y simplificamos eliminando el denominador del primer término.
5 + 3b + 14b = 12
17b = 7
b=7/17= 0,4117
Como ya conocemos el valor de "b" podemos calcular el valor de “a”:
a =(5+-3b)/4
a = (5 + 3 x 0,4117)/ 4 = 1,5588
Por lo tanto, las soluciones de este sistema de ecuaciones son:
a = 1,5588
b = 0,4117
ATENCIÓN:
Hemos utilizado la primera ecuación y hemos definido la variable “a” en
función de la variable “b”, sustituyendo luego en la segunda ecuación la
variable "a" por su definición.
También podíamos haber hecho esto utilizando la segunda ecuación,
definiendo la variable a” en función de la variable “b”, sustituyendo luego
en la primera ecuación la variable “a” por su definición.
Igualmente, en lugar de la variable “a” podíamos haber definido la variable “b”, sustituyéndola luego en la ecuación.
Cualquier alternativa es válida.
2.- Vamos a resolver nuevamente este sistema de ecuaciones pero aplicando un segundo método, el “método de igualación”.
Para ello vamos a despejarla misma incógnita en ambas ecuaciones:
4a— 3b= 5 luego a =(5+ 3b)/4
2a÷ 7b= 6 Iuego a = (6—7b)/2
Como en ambos casos las expresiones despejadas son iguales a la incógnita “a”, también deben ser iguales entre sí:
(5+ 3b)/ 4 = (6 — 7b)/2
Despejando:
(5 + 3b) / 2 = (6 — 7b)
5 + 3b = (6 — 7b) x 2
5 + 3b = 12 — 14b
3b t 14b = 12 — 5
17b = 7
Luego, b=7/ 7= 0,4ii7
Por lo que:
a = (5 ± 3b)/4 = (5 + 3x 0,4ii7)/ 4 = 1,5588
3.- Un tercer método utilizado para resolver sistemas de ecuaciones es el “método de reducción”.
Este método consiste en restar a la primera ecuación la segunda con el objeto de eliminar una incógnita y quedarnos tan solo con la otra.
Este método requiere un paso previo: hay que determinar que incógnita queremos eliminar (es preferible aquella que tenga los coeficientes más bajos).
Determinada la incógnita a eliminar, vamos a multiplicar los 2 miembros de la 1a ecuación por el coeficiente que tiene la incógnita a eliminar en la 2a ecuación (2a + 7b = 6).
La incógnita a” tiene de coeficiente 2 en la segunda ecuación, por lo que vamos a multiplicarlos miembros de la 1a ecuación por 2:
(4ax 2)—(3b x2) = (5 x2)
Ba — 6b = 10
Ahora vamos a hacer lo mismo con la 2 ecuación, vamos a multiplicar sus dos mientros por el coeficiente que tiene la incógnita a eliminar en la 1a ecuación (4a — 3b = 5), en este caso 4.
(2ax 4)+(7bx4) = (6 x4)
8a + 28b = 24
Ahora vamos a restarle a la primera ecuación la segunda, quedando eliminada una incógnita.
Luego: b= -14/(-34)=0,4117
Despejamos en cualquiera de Ias 2 ecuaciones el valor de “a”:
4a — 3b = 5
4a — 3 x 0,4117 = 5
4a = 6,2352 = 1,5588
