Distancia entre rectas que se cruzan
Dos rectas se cruzan cuando cada una de ellas pertenece a planos distintos, y por lo tanto, por mucho que se prolonguen nunca se encuentran.
Debajo tienes dos figuras de rectas que se cruzan.
En la primera, en un espacio tridimensional las rectas en rojo se cruzan, lo mismo sucede con las líneas en color amarillo.
En la segunda figura, las rectas las tenemos en dos planos paralelos y vemos que la distancia entre ambos planos, corresponde a la perpendicular que une un punto de cada recta.
Sabemos que una recta queda determinada por un punto y un vector director y un por un punto y dos vectores uno de ellos es el paralelo correspondiente a la otra recta.
Tienes debajo las rectas r y s (que se cruzan) cuyos vectores directores son 
y 
respectivamente y hemos colocado sus paralelas correspondientes en cada punto. Los planos obtenidos los denominamos 
y 
.
Tenemos un paralelepípedo cuyo volumen es el área de la base por la altura.
Anteriormente estudiamos que la distancia de un punto P a un plano 
es:
La altura (h) equivale a 
que hemos de multiplicar por el área de la base 
producto vectorial de los dos vectores lo que corresponde al producto mixto de tres vectores que lo escribimos:
Estudiamos anteriormente que el producto mixto de los vectores
, 
, 
lo calculamos hallando el determinante ( 
, 
, 
) :
es decir:
24.25 Las rectas:
se cruzan. ¿Cuál es la distancia entre ellas?
Respuesta: 0,7 u.
Solución
Sea P un punto de la recta r, comprobamos que vale (1, 3,-1).
Sea Q un punto de la recta s, comprobamos que vale (0, -1,1).
El vector director de r es 
cuyas componentes son (2, 1, -2).
El vector director de s es 
cuyas componentes son (-2, 1, 2).
El vector 
tiene como componentes:
(0, -1, 1) – (1, 3, - 1) = (0 -1, -1 -3, 1 – (-1) = (-1, -4, 2).
Aplicamos la fórmula:
El cálculo lo hacemos separadamente el numerador del denominador.
numerador:
denominador: 
cuyo módulo vale: 
Sustituyendo valores:
24.26 ¿Cuál es la distancia entre las rectas:
si sabemos que se cruzan?
Respuesta: 0,7 u.
