Distancia entre un punto y una recta en el espacio
DISTANCIA ENTRE UN PUNTO Y UNA RECTA EN EL ESPACIO.
Vamos a utilizar dos formas para calcular la distancia de un punto en el espacio a una recta.
En la 1ª haremos uso de la fórmula y en la 2ª no la tendremos en cuenta.
1) En la siguiente figura puedes ver un punto P en un espacio tridimensional, una recta r y el vector director 
.
es la distancia entre el punto y la recta y vemos que es perpendicular al vector director
A continuación tienes representada gráficamente la suma de dos vectores:
Podemos decir que: 
Multiplicamos vectorialmente por el vector director 
a los dos miembros de la igualdad anterior:
Sabemos que el seno del ángulo de la figura que tienes a continuación:
es 
¿Qué sucedería si los vectores fuesen paralelos?
Sucedería que el ángulo que formarían dichos vectores (paralelos lo comprobamos en la siguiente figura) sería cero y el seno de cero vale 0:
Esto quiere decir que el producto vectorial: 
vale cero por ser paralelos ambos vectores según puedes comprobar en la figura:
Nos ha quedado: 
de donde despejando la distancia del punto a la recta nos queda:
Observarás que para realizar los cálculos, hacemos uso de las medidas o módulos de los vectores.
24.12 Halla la distancia del punto 
a la recta
Respuesta: 3,73 u.
Solución
Vuelvo a tomar la figura:
Si me fijo en los parámetros de la recta del texto del problema, observo que el vector director al que llamo 
tiene como componentes 
y el punto 
Calculamos el vector 
ya que sabemos las coordenadas de A y de P.
La distancia de P hasta Q es:
Sustituyendo valores:
El numerador es el producto vectorial de dos vectores:
Podemos escribir:
Numerador y denominador:
24.13 Halla la distancia del punto 
a la recta
Respuesta:
2) Sin hacer uso de la fórmula vamos a resolver el problema anterior.
24.14 Halla la distancia del punto 
a la recta
.
Respuesta: 
Solución
En el espacio tridimensional de la figura siguiente tenemos un punto P y una recta r y tenemos que calcular la distancia entre ambos.
Trazamos la perpendicular desde P hasta r que es la distancia del punto a la recta:
Incluimos el punto y la recta en un plano que es perpendicular a la recta r:
Tenemos que calcular la ecuación del plano y después, el punto de intersección de éste con la recta (Q).
No pierdas de vista que lo que tenemos que calcular es la distancia 
Conocemos las coordenadas de P que son 
La ecuación de la recta es:
De la ecuación de la recta:
Vemos que las componentes del vector director de r (lo representamos por 
) son 
Sabemos que el plano y la recta tienen el punto Q en común.
El vector director de la recta r es el mismo que el vector normal del plano.
Esto nos permite escribir la ecuación del plano:
Tenemos que calcular el valor de D.
Conocemos un punto 
, que se encuentra también en el plano.Estos valores los sustituimos en: 
La ecuación del plano finalmente nos queda:
Sabemos que Q es la intersección del plano y de la recta.
Escribimos la ecuación de la recta en su forma paramétrica de la que conocemos el punto 
que lo obtenemos de la parte numérica de cada numerador de su ecuación en forma continua:
quedándonos:
Sustituimos estos parámetros en: 
para hallar el valor de k:
Esto nos permite conocer las componentes del punto Q debido a que el vector director de la recta es el mismo que el propio o característico del plano y el punto Q es común a los dos:
Las componentes de Q son:
Por fin, queremos saber la distancia 
y para ello calculamos la diferencia de los valores de las componentes de los dos puntos, P y Q:
