Soluciones

24.32    Resolvemos el sistema: 

Le damos a z el valor cero:              z = 0
                          

Sustituimos este valor en el sistema y hallamos el valor de x:

En la 2ª ecuación sustituimos los valores conocidos y hallamos el valor de y:

El punto común P del sistema es: (5,20)

Ahora necesitamos saber el vector director y para ello nos servimos de los vectores normales de las dos ecuaciones que nos vienen dadas por las coeficientes A, B, C de cada ecuación:

Para saber las componentes del vector director resolvemos:

Vemos que las componentes del vector director son (8, 1, -6)

La ecuación  en las formas pedidas son:

Vectorial : 

Paramétricas:

Nos servimos de la forma vectorial

Continua:
Nos servimos de las formas paramétricas

24.33  Recuerda que para determinar un plano en el espacio se necesitan:  
I.)  - Un punto
      - Dos vectores directores no proporcionales.

II.) Puede suceder que te den 3 puntos (que no estén alineados). Con estos datos ya puedes obtener el plano ya que con tres puntos puedes hallar dos vectores directores (con esos tres puntos) y después,  tomas un punto cualquiera.

III.) Para hallar la ecuación de un plano basta con conocer un punto y una recta contenidas en el mismo porque el plano y la recta tienen el mismo vector director. El segundo vector director lo obtenemos del punto del plano y de la recta.

IV.) Cuando conocemos un punto A por donde pasa el plano y un vector normal 

del mismo, aplicamos la ecuación normal del plano:

Veamos un ejemplo:

¿Cuál es la ecuación de un plano que pasa por A(1,1,2) y un vector normal del plano es 

Solución
Pasamos a resolver el problema cuyos datos son:

Nos falta un dato y es el que se refiere a un punto cualquiera del plano que teniendo en cuenta el punto A(2, -1, 2) lo escribimos:

Una vez que tenemos los datos el sistema de ecuaciones lo resolvemos por medio del determinante:

24.34  Recordemos que la distancia de un punto a una recta tal como tenemos representada a continuación 

la obtenemos a partir de 

A los miembros de esta igualdad multiplicamos vectorialmente por y obtenemos:

Vemos por la figura anterior que y son paralelas (los valores de x, y, z son proporcionales o iguales. Sus pendientes son iguales) por lo que su producto vectorial vale cero.

Sabemos que el producto vectorial de dos vectores  cuyas componentes son  y  las del vector  es:

Ves que los valores de las diferencias entre paréntesis son iguales lo que implica que su valor es cero. Cada producto vale cero, luego .

Esto significa que la igualdad 

equivale a 

Despejamos y obtenemos 

Aplicamos al ejercicio:

Conocemos el punto exterior P(1, 2, 3) y un punto A de la recta con lo que el vector  tiene como componentes:

Las componentes del vector director de la recta r  son (2, 1, -2) y vemos que disponemos de todos los datos necesarios para resolver este problema:

Calculamos el módulo de

Calculamos el módulo de 

La