Conceptos Fundamentales. Conjuntos Numéricos. Campo Real

Concepto de Conjunto N​umérico

Se entiende por conjunto numérico una colección de números que guarda una relación estrecha entre sí, mediante alguna propiedad especifica. Cada elemento del conjunto numérico debe existir y ser único.

Los números son elementos que representan de forma abstracta la realidad "real" conocida en filosofía como: realidad objetiva.

Entonces un conjunto numérico seria por ejemplo el conjunto de los naturales. Los números naturales se definen de manera enumerativa como: N={1 ; 1* ; (1*)* ; ((1*)*) } de la forma anterior o una forma igual como: N={1 ; 2 ; 3 ; 4 }. La primera representación de los números naturales se debe al matemático italiano Peano, que los definió de la forma como se conoce hoy en Matemáticas. El símbolo "*" significa que el el numero 1 tiene un sucesor que es el 2 o 1*. Así sucesivamente se van representando los diferentes números naturales.

Campo de los números Reales

Los números naturales, como son conocidos, no satisfacen las necesidades numéricas prácticas del hombre, en particular, si 2 es menor que 3, la operación no tiene sentido en el campo de los números naturales. Para solucionar este conflicto así como otros que fueron apareciendo con el desarrollo de las matemáticas, el ser humano inventó el concepto de Conjunto o Campo de los Números Reales. Este Conjunto de los Números Reales se define rigurosamente de la siguiente forma:

Axioma I- Existe la operación suma que le asocia a dos números reales a y b el número c = a + b también real:

I1: a + b = b + a (propiedad conmutativa)

I2: (a + b) + c = a + (b + c) (propiedad asociativa)

I3: Existe el elemento cero de la suma: a+0=0+a=a

I4: Existe el opuesto −a:a+(−a)=0

Axioma II- Para dos reales cualesquiera está definido de forma unívoca el producto, que asocia a dos reales a y b el real c = a ⋅ b y cumple:

II1: a ⋅ b = b ⋅ a (propiedad conmutativa)

II2: (a ⋅ b) ⋅ c = a ⋅ (b ⋅ c) (propiedad asociativa)

II3: Existe el elemento unidad del producto: a ⋅1 = 1⋅ a 

II4: Existencia del recíproco o inverso  de a.

Axioma III- Relación entre las dos operaciones:

∀a,b,c∈R:(a+b)⋅c =a⋅c+b⋅c (propiedad distributiva)

Axioma IV- Ordenamiento: (∀a ∈ R) : (a < 0) ∨ (a = 0) ∨ (a > 0)

IV1: Si (a > 0, b > 0) : (a + b > 0) ∧ (a ⋅ b > 0)

IV2: Si a + (−b) > 0 ⇒ a > b

Axioma V- Continuidad: Si (∀a ∈ R, b ∈ R)(a ≤ b) ⇒ (∃α ∈ R) : a ≤ α ≤ b

El axioma de continuidad caracteriza el campo de los números reales frente a los otros campos numéricos, y es el que garantiza la idoneidad de este campo para usarlo en la descripción de magnitudes observables.

Leyenda:

• El símbolo ∀ significa "para todo numero real".
• El símbolo ∈ significa "pertenece el numero (símbolo anterior) al conjunto de los Números Reales".
• El símbolo ∃ significa "existe el número (símbolo posterior)".
• El símbolo: significa " tal que".

Después de haber visto lo básico para definir un número, en la próxima lección abordaremos el tema de límite de una función.