El Pentágono y el número Áureo
Como curiosidad es interesante comprobar que si mides una diagonal del pentágono y la divides entre el valor del lado obtienes como resultado:
Tal como estudiamos anteriormente.
En la siguiente figura tienes la medida de una diagonal del pentágono y la de un lado.
Si dividimos ambas medidas obtenemos el número áureo Φ:
Relación entre la medida del radio de la circunferencia circunscrita y la del lado del pentágono:
Este tema apenas se toca en los libros de texto al estudiar el cálculo del área del pentágono.
Al eludir su estudio cometen errores, quizá pensando en su poca importancia, pero siempre es mucha, si tratamos de transmitir la verdad a nuestros alumnos.
Podemos leer textos de problemas propuestos como:
Calcula el área de un pentágono sabiendo que el lado del mismo vale 6 cm. y la apotema 4.
No es posible que la apotema, en este caso, valga 4 cm. como lo podremos comprobar en las líneas siguientes.
¿Por qué?
Partimos de la siguiente figura en la que tenemos un pentágono inscrito:
Hallamos la mitad de la distancia OB, es decir, el punto E. Unimos este punto con el vértice C del pentágono:
Suponiendo que el radio del círculo circunscrito vale 1 (da igual que sean milímetros que centímetros, decímetros, etc.,), esto significa que la distancia OE vale la mitad de 1 porque OB también es el radio y OE es la mitad de esa distancia.
Ahora observamos que se nos ha formado un triángulo COE:
De este triángulo rectángulo conocemos el valor de los catetos por lo que pasamos a calcular el valor de la hipotenusa CE:
Desde el punto E trazamos sobre BD el valor de la hipotenusa que acabamos de hallar, es decir, EJ:
La línea que une los puntos C y J mide exactamente lo mismo que CG, FG, etc., es decir, lo mismo que el lado del pentágono:
Unimos los puntos C y J y nos queda el triángulo rectángulo COJ.
La hipotenusa del triángulo COJ es la medida del lado del pentágono. Para obtener su longitud vemos que tenemos que saber el valor del cateto OJ:
Como dato de referencia, 
cuando el radio de la circunferencia circunscrita vale 1, CJ=1,1755….
Comprobamos que cuando el radio de la circunferencia vale 1, el lado vale 1,1755….
Podemos establecer la siguiente proporción:
En el caso que le diera el valor 1 al lado del pentágono, el radio valdría:
Para calcular el área de uno de los cinco triángulos isósceles del pentágono, teniendo en cuenta la siguiente figura tenemos:
que aplicando una vez más el teorema de Pitágoras calculamos el valor de la altura:
El área del triángulo será:
El área del pentágono será el valor de 5 triángulos de 0,3441:
Esta fórmula es válida para cuando el lado del pentágono vale 1, si su valor es a multiplicaremos a dicha fórmula por esta cantidad en las medidas de base y altura: 
y nos quedará:
