Volumen del Casquete Esférico (2)

Acabas de estudiar el volumen del sector esférico y has visto que es igual a la suma del volumen del casquete esférico más el volumen del cono:

De donde obtenemos la igualdad:

En esta última figura vamos a fijarnos únicamente en el cono.

R es el radio de la esfera
r es el radio del cono y del casquete esférico
R – h es la altura del cono
h es la altura del casquete esférico.

El volumen del cono de la figura anterior es igual:

Calculamos el valor del radio del casquete esférico (r) en el casquete de color verde de la siguiente figura:

Observamos que se trata de un cateto de un triángulo rectángulo. El otro cateto es R – h y la hipotenusa es R.
Por el teorema de Pitágoras tenemos:

En la fórmula anteriormente obtenida y eliminando los signos x.:

y que:

Sustituyendo valores conocidos tendremos:

Haciendo operaciones en el sustraendo y reduciendo términos semejantes PASO a PASO:

Concluimos escribiendo el volumen del casquete esférico:

Esta fórmula se suele presentar también:

Hemos multiplicado y dividido por 3 al primer término para poder sacar factor común a

Otra forma de calcular el volumen del casquete esférico es la de hacer uso del radio del cono, que también el radio del casquete:

En la fórmula anterior:

Vamos a escribirla:

Hemos sacado factor común a h en lugar de lo que equivale a multiplicar por h a cada uno de los términos que están dentro del paréntesis.
Por Pitágoras teniendo en cuenta los datos de la última figura tenemos:

Este valor que acabamos de obtener lo sustituimos en la fórmula anterior del volumen del casquete esférico:

Puedes usar cualquiera de las dos fórmulas:

15(3).44 Calcula el volumen del casquete esférico cuyas medidas las tienes señaladas en la siguiente figura:

Respuesta:

15(3).45 Haciendo aplicación de las dos fórmulas estudiadas sobre el volumen del casquete esférico cuyas medidas son:
10 m. el radio de la esfera
8 m. el radio del casquete esférico
4 m. la altura del casquete esférico.
Comprueba sus resultados.

Respuesta:

Nota: Cuando hagas cálculos con decimales, los resultados obtenidos pueden tener pequeñas diferencias debidas a redondeos y medidas que a veces, convendría tomarlas con 3 ó 4 cifras decimales.