Volúmen del Dodecaedro
Podemos tratar al dodecaedro (del mismo modo que lo hicimos con el icosaedro), considerarla como una figura formada, en este caso, por 12 pirámides pentagonales iguales, en la que el vértice de cada una se encuentra en el centro de este cuerpo geométrico.
El problema principal para calcular su volumen se encuentra en averiguar la altura de una pirámide ya que todas miden lo mismo, tal como representamos en la siguiente figura:
Tomamos una de las pirámides de la figura anterior:
El problema en este momento es calcular la altura de esta pirámide OA.
Estudiamos anteriormente la relación que había entre las medidas de una diagonal del pentágono con el lado tal como tienes en la figura siguiente:
descubrimos que este cociente equivale al número áureo Φ que vale 
Esto es muy importante para lo que vamos a ver a continuación:
En primer lugar ves en la siguiente figura un dodecaedro en el que hemos trazado una diagonal del pentágono superior.
Sabemos que la distancia AC, medida de la diagonal, dividida por la longitud de un lado del citado pentágono nos da:
Podemos ver que 
En el dodecaedro que tienes a continuación:
ves que el pentágono ABCDEF de contorno amarillo se produce la relación áurea del caso anterior entre la diagonal de un pentágono y uno de sus lados:
Conocemos el valor de 
Sustituyendo este valor en:
Si a AB le damos el valor 1 nos queda:
Este valor es muy importante porque si te fijas en la siguiente figura:
Las distancias CD y GH son iguales y nos ha quedado un rectángulo cuyas medidas son:
DH es el lado del pentágono y le dimos este valor para facilidad de cálculo. CG es el lado opuesto a DH.
Si te fijas bien en la figura que tienes a continuación vemos este rectángulo posicionado en el dodecaedro con sus medidas:
En color amarillo tienes la línea MN que une el centro del dodecaedro con la mitad del lado del pentágono.
Dijimos que había que calcular la altura de la pirámide pentagonal
Es decir OA.
La distancia AB es la altura del triángulo HAK y también la apotema del pentágono que dedujimos su valor y la distancia OB vale la mitad de la longitud del rectángulo CDGH.
Conocemos los datos suficientes para calcular OB, la altura de una de las doce pirámides pentagonales.
En el triángulo de color gris conocemos los datos:
En color verde el cateto correspondiente a la altura: h
En color rojo el cateto correspondiente a la apotema del pentágono 0,6882
En color azul la hipotenusa que corresponde a la apotema de una cara de la pirámide 1,309
Por medio del teorema de Pitágoras tendremos:
Ahora calcularemos el volumen de una pirámide que será:
Como un dodecaedro tiene 12 pirámides pentagonales tendremos que multiplicar el resultado anterior por 12:
Aplicación
Calcula el volumen de un dodecaedro que tiene 10 cm., de arista:
Nota.- Dado el número de cifras decimales que se producen en el cálculo de los volúmenes de algunas figuras y prescindir o redondear algunas de ellas, los resultados obtenidos son aproximados.
