Geogebra

Quizá comienzas a darte cuenta de la cantidad de operaciones aritméticas que hemos de realizar para calcular ecuaciones de las cuando proceden de giros o rotaciones.
Vamos a hacer, paso a paso, un problema en el que vamos a calcular la ecuación de una hipérbola después de una traslación a un punto, y después, su ecuación después de un giro.

26.50 Calcula la ecuación general de la hipérbola  después de haberla trasladado al punto (1,2) y luego haberla girado 45º.

Solución
1.- La hipérbola antes de la traslación y rotación es:

2.- Después de la traslación al punto (1,2):

3.- A partir del movimiento anterior, le damos un giro de 45º en torno al punto P(1,2) con un trazo de línea más grueso:

Para hallar la ecuación de esta hipérbola hemos de realizar unas cuantas operaciones que resultan un poco largas y por lo tanto, fácil de cometer errores.
Vamos a calcular la ecuación de esta hipérbola tras el giro de 45º.

Anteriormente hemos calculado:

Resolvemos el sistema (método de reducción):

Estos valores de x’ e y’ los sustituimos en la ecuación obtenida tras su traslación:

Elevamos al cuadrado los numeradores y hacemos operaciones:

Escribimos todo en una fracción:

Reducimos términos semejantes eliminando denominadores y llegamos a la ecuación que buscábamos:

Como ves, son muchas las operaciones a realizar por el método tradicional y fácil de cometer errores.
Por otra parte, comprobar gráficamente el resultado también requiere trabajo y tiempo.

Estos y otros inconvenientes quedan totalmente resueltos con el excelente programa GEOGEBRA(autor: Markus Hohenwarter - Austria) que de forma gratuita puedes descargar de Internet.
No solamente para el estudio de las cónicas es muy útil este programa sino para otros temas fundamentales de matemáticas por lo que se te recomienda hagas uso de él. Su manejo es fácil de aprender además de muy didáctico.
Cuando introduces una ecuación, comprobarás que realiza las operaciones que se le van indicando.

Observa:

Pedimos a Geogebra que nos represente gráficamente la ecuación de la elipse :

y obtenemos una pantalla que nos facilita, a la izquierda en su parte superior (señalado con la flecha roja), dicha ecuación pero efectuados los cocientes de los coeficientes de cada variable entre sudenominador:

. A la derecha aparece la gráfica correspondiente.

A veces, la eliminación de algunas cifras decimales pueden alterar levemente la posición de la figura después de efectuado un giro, por ejemplo.

Realiza por tu cuenta unos ejercicios de traslaciones y giros de parábolas, hipérbolas, etc., …. 
Forma de la ecuación general de una cónica
Dijimos que la ecuación general válida para las cónicas era:

Sin tener en cuenta la rotación.

Hemos comprobado que después de una rotación aparece un término cuya parte literal es xy y le asignamos el coeficiente B.
A partir de este momento, dicha ecuación se transforma en:

Si en una ecuación no aparece este término podemos decir que no se ha efectuado ningún giro.

Discriminante de una cónica
Recordarás que en la ecuación de 2º grado el discriminante era:

En el caso de las cónicas también guardamos este formato, es decir: