Hipérbola equilátera
Una hipérbola es equilátera cuando los semiejes a y b son iguales:
Esto quiere decir: a = b.
Si observas las asíntotas, verás que se tratan de las bisectrices (dividen un ángulo en dos partes iguales).
Ecuación reducida de la hipérbola equilátera
Te basta con hacer uso de la forma reducida: 
Como a y b son iguales, podemos escribir: 
Haciendo operaciones llegamos: 
Ecuaciones de las asíntotas de una hipérbola equilátera
Dado que las asíntotas son bisectrices, los valores de x e y son iguales, por lo tanto, 
son las ecuaciones de las asíntotas. El doble signo se debe al cuadrante donde está situada.
Ecuación de la hipérbola cuando las asíntotas son los ejes de coordenadas
Para que las asíntotas se conviertan en ejes de la hipérbola equilátera, es suficiente girar 45º:
Un punto cualquiera P de la hipérbola puede estar situado en el vértice, como puedes apreciar en la figura.
Sabemos por lo estudiado hasta aquí que:
La distancia 
Sustituimos valores en esta última igualdad:
Haciendo operaciones:
Desarrollamos los productos notables:
Reducimos términos semejantes:
Simplificamos por 4a:
Elevamos ambos miembros al cuadrado y reducimos términos semejantes:
Como puedes comprobar, la ecuación de la hipérbola equilátera, con relación a las asíntotas es:
Podemos simplificar y nos quedará:
k representa un valor real conocido.
26.30 ¿Puedes decir si xy = 1 representa a la ecuación de alguna de las cónicas que has estudiado hasta ahora?
Respuesta: Sí, se trata de la ecuación de una hipérbola referida a sus asíntotas.
Solución
Sabemos por lo que acabamos de estudiar que 
Teniendo en cuenta los datos del problema, xy= 1 podemos decir que los valores de x e y son: x = 1, y = 1 y que 
de donde deducimos: 
26.31 Teniendo en cuenta el enunciado del problema anterior ¿cuáles son las coordenadas de los vértices y focos?
Respuesta:
Solución
Dibujamos esta hipérbola equilátera:
Vemos que las coordenadas de los vértices son:
Para calcular las coordenadas de los focos tenemos en cuenta que 
Al ser una hipérbola equilátera vemos que:
Anteriormente hemos visto que 
en (I) sustituimos el valor de a por 
y vemos que 
Como a y b son iguales, es decir, sus catetos son iguales, para que la hipotenusa (c) valga 2,
luego las coordenadas de los focos serán: 
26.32 Calcula los valores de a,b,c y las coordenadas de vértices y focos de la hipérbola 
Respuestas:
Las coordenadas de A son: 
Las coordenadas de B son: 
Las coordenadas de los focos son: 
Solución
Aplico la fórmula de la ecuación de una hipérbola equilátera referida a sus asíntotas:
Como se trata de una hipérbola equilátera x e y son iguales.
Ahora trato el problema como si se tratara de un triángulo rectángulo en el que la hipotenusa vale 2 y los catetos son iguales:
Tenemos que tener en cuenta que las hipérbolas las tenemos situadas en el primer y tercer cuadrantes:
Las coordenadas de A son: 
Las coordenadas de B son: 
Como 
Sabemos que 
, sustituimos en 
Si la distancia 
es la hipotenusa de dos catetos iguales
Las coordenadas de los focos son: 
26.33 ¿Cuáles serían las coordenadas de los vértices y focos de la hipérbola equilátera cuya ecuación es xy =4?
Respuestas:
