Derivada de la Función Inversa

1.- ¿QUÉ ES UNA FUNCIÓN INVERSA?

La función inversa o función recíproca de una función dada y = f(x) es aquella función f^-1 (x) que a partir de un valor “y” calcula el valor “x” que lo origina.

Si f(a) = b

Entonces:

f^-1 (b) = a

a) Veamos un ejemplo:

y = 3x

Para calcular su función inversa despejamos la “x”:

Como en esta función la variable “y” funciona como variable independiente pasa a denominarse “x”:

Veamos como funciona:

Por ejemplo, si x = 2 entonces y = 3 * 2 = 6

Vemos como al aplicar la unción inversa, partiendo del valor “y = 6” que habíamos obtenido en la función directa, obtenemos f^-1 (x) = 2 (valor inicial de x)

b) Veamos otro ejemplo:

Para calcular su función inversa despejamos la “x”:

y * (x + 3) = x – 3

xy + 3y = x – 3

xy - x = –3 – 3y

x * (y - 1) = –3 – 3y

Por lo tanto la función inversa es:

Veamos como funciona:

Si x = 1 entonces:

Ahora utilizamos la función inversa:

c) Un tercer ejemplo:

Para calcular su función inversa despejamos la “x”:

Elevamos ambos miembros al cubo:

Veamos como funciona:

Por ejemplo, si x = 8 entonces:

Ahora utilizamos la función inversa:

f^-1 (x) = 2³= 8 (valor inicial de x)

 2.- DERIVADA DE UNA FUNCIÓN Y DERIVADA DE SU FUNCIÓN INVERSA

La derivada de una función y la derivada de su función inversa son funciones recíprocas.

Ambas funciones derivadas cumplen:

Veamos los tres casos anteriores:

a) y = 3x

Su derivada:

y´ = 3

Su función inversa es:

Y la derivada de la función inversa es:

Podemos comprobar que:

Vamos a comprobar que: