Derivada de un producto

La derivada de un producto es la suma de la derivada del primer factor por el segundo factor sin derivar más el primero sin derivar por la derivada del segundo.

f(x) = v * w f(x) = (v´ * w) + (v * w´)

Ejemplo:

f(x) = (5x - 2) · (4x + 3)

f´(x) = 5 · (4x + 3) + (5x - 2) · 4 = 20x + 15 + 20x - 8 = 40x + 7

f(x) = (4x + 7) · (9x - 3)

f´(x) = 4 · (9x - 3) + (4x + 7) · 9 = 36x - 12 + 36x + 63 = 72x + 51

f(x) = (5x² + 7x) · (3x + 4)

f´(x) = (10x + 7) · (3x + 4) + (5x² + 7x) · 3 = 30x² + 40x + 21x + 28 + 15x² + 21x = 45x² + 82x + 28

f(x) = (3x + 4) · (5x³ - 4x²)

f´(x) = 3 · (5x³ - 4x²) + (3x + 4) · (15x² - 8x) = 15x³ - 12x² + 45x³ - 24x² + 60x² – 32x = 60x³ + 24x²– 32x

 f(x) = (2x² - 8x) · (4x² – 7x)

f´(x) = (4x - 8) · (4x² – 7x) + (2x² - 8x) · (8x – 7) = 16x³ - 28x² - 32x² – 56x + 16x³ – 14x² – 64x² – 56x = 32x³ - 138x² - 112x

f(x) = (3x³ - 4x) · (2x⁵ – 4)

f´(x) = (9x² - 4) · (2x⁵ – 4) + (3x³ - 4x) · 10x⁴ = 18x⁷ - 36x² - 8x⁵ + 16 + 30x⁷ – 40x⁵ = 47x⁷ - 48x⁵ - 36x² + 16

f(x) = (2x⁵ - 3x²) · (4x³ + 2x)

f´(x) = (10x⁴ - 6x) · (4x³ + 2x) + (2x⁵ - 3x²) · (12x² + 2) = 40x⁷ + 20x⁵ - 24x⁴ - 12x² + 24x⁷ + 4x⁵ - 36x⁴ - 6x² = 64x⁷ + 24x⁵ - 60x⁴ - 18x²

f(x) = (2x³ + 4x²) · (x⁶ - 2x⁵)

f´(x) = (6x² + 8x) · (x⁶ - 2x⁵) + (2x³ + 4x²) · (6x⁵ - 10x⁴) = 6x⁸ - 12x⁷ + 8x⁷ - 16x⁶ + 12x⁸ - 20x⁷ - 24x⁷ - 40x⁶ = 18x⁸ - 56x⁶

f(x) = (3x² – 2x + 7) · (4x² - 5x)

f´(x) = (6x – 2) · (4x² - 5x) + (3x² – 2x + 7) · (8x - 5) = 24x³ - 30x² - 8x² + 10x + 24x³ - 15x² - 16x² - 10x+ 56x – 35 = 48x³ - 69x² + 76x - 35

f(x) = (x³ – 2x² + 4) · (2x⁴ - 3x²)

f´(x) = (3x² – 4x) · (2x⁴ - 3x²) + (x³ – 2x² + 4) · (8x³ - 6x) = 6x⁶ - 9x⁴ - 8x⁵ + 12x³ + 8x⁶ - 6x⁴ - 16x⁵ - 12x³ + 32x³ – 24x = 14x⁶ - 24x⁵ - 15x⁴ + 56x³ – 24x

f(x) = (2x⁴ – x³ + 4x) · (3x² – 6x)

f´(x) = (8x³ – 3x² + 4) · (3x² – 6x) + (2x⁴ – x³ + 4x) · (6x – 6) = 24x⁵ - 48x⁴ - 9x⁴ + 18x³ + 12x² - 24x + 12x⁵ - 12x⁴ - 6x⁴ + 6x³ + 24x² - 24x = 36x⁵ - 75x⁴ + 24x³ + 36x² – 48x

f(x) = (3x³ + x² - 2x) · (2x⁴ + 3x)

f´(x) = (9x² + 2x - 2) · (2x⁴ + 3x) + (3x³ + x² - 2x) · (8x³ + 3) = 18x⁶ + 27x³ + 4x⁵ + 6x² - 4x⁴ - 6x + 24x⁶ + 9x³ + 8x⁵ + 3x² - 16x⁴ - 6x = 42x⁶ + 12x⁵ - 20x⁴ + 36x³ + 9x² - 12x

f(x) = (3x + 6) · (5x – 2)

f´(x) = 3 · (5x – 2) + (3x + 6) · 5 = 15x - 6 + 15x + 30 = 30x +24

f(x) = (2x³ – 5x) · (7x² + 5)

f´(x) = (6x² – 5) · (7x² + 5) + (2x³ – 5x) · 14x = 42x⁴ + 30x² - 35x² - 25 + 28x⁴ - 70x² = 70x⁴ - 75x² – 25

f(x) = (5x² – 4x + 3) · (3x + 2)

f´(x) = (10x – 4) · (3x + 2) + (5x² – 4x + 3) · (3) = 30x² + 20x- 12x- 8+ 15x² - 12x+ 9 = 45x² - 4x+ 1