Medidas de centralización: media aritmética, moda y mediana
Las medidas de centralización permiten conocer los valores intermedios de un estudio estadístico, y los más abundantes.
Las tres medidas de centralización son la media aritmética, la mediana y la moda. Pero para entenderlo, vamos a explicarlo con un ejemplo:
Imaginemos que tenemos un estudio estadístico sobre las notas de un examen, y la tabla estadística es la siguiente:
| xi | fi | hi | Fi | Hi | % |
|---|---|---|---|---|---|
| 4 | 1 | 0,03 | 1 | 0,03 | 3 |
| 5 | 5 | 0,17 | 6 | 0,2 | 17 |
| 6 | 6 | 0,21 | 12 | 0,41 | 21 |
| 7 | 6 | 0,21 | 18 | 0,62 | 21 |
| 8 | 7 | 0,24 | 25 | 0,86 | 24 |
| 9 | 3 | 0,1 | 28 | 0,96 | 10 |
| 10 | 1 | 0,03 | 29 | 0,99 | 3 |
| N=29 |
La media aritmética () nos indica el valor intermedio del estudio. Para calcularlo hay varias fórmulas, pero una manera más mecánica de calcularlo es añadiendo otra columna a la tabla, donde multiplicaremos el xi por el fi de cada fila, y luego sumaremos todos los números de la columna:
| xi | fi | hi | Fi | Hi | % | xi · fi |
|---|---|---|---|---|---|---|
| 4 | 1 | 0,03 | 1 | 0,03 | 3 | 4 |
| 5 | 5 | 0,17 | 6 | 0,2 | 17 | 25 |
| 6 | 6 | 0,21 | 12 | 0,41 | 21 | 36 |
| 7 | 6 | 0,21 | 18 | 0,62 | 21 | 42 |
| 8 | 7 | 0,24 | 25 | 0,86 | 24 | 56 |
| 9 | 3 | 0,1 | 28 | 0,96 | 10 | 27 |
| 10 | 1 | 0,03 | 29 | 0,99 | 3 | 10 |
| N=29 | 200 |
Finalmente para calcular la media aritmética tendremos que dividir el resultado de la suma de la columna de el xi · fi entre N:
Esto quiere decir que la nota media de la clase ha sido de 6,9.
El siguiente valor es la moda (mo) que nos indica el valor que más ha elegido la gente en el estudio, o lo que es lo mismo, el que tiene una mayor frecuencia absoluta. En el ejemplo, la moda es 8, ya que hay siete alumnos que han sacado un ocho.
La última medida de centralización es la mediana, que nos indica el valor que se encuentra en el centro de todos los valores que han salido en el estudio. Es decir, si ordenásemos todas las notas de menor a mayor:
4 5 5 5 5 5 6 6 6 6 6 6 7 7 7 7 7 7 8 8 8 8 8 8 8 9 9 9 10
Sería el valor que está en el centro:
4 5 5 5 5 5 6 6 6 6 6 6 7 7 7 7 7 7 8 8 8 8 8 8 8 9 9 9 10
De manera que la mediana sería 7. Si en el medio nos quedan dos números, deberíamos
Otra manera de averiguar la mediana es en la tabla de frecuencias buscar el valor que tiene una frecuencia relativa acumulada igual o superior a 0,5. Si miramos la tabla del ejemplo, la nota de 6 tiene una Hi de 0,41, y la nota de 7 de 0,62. Como el que pasa de 0,5 es 0,62, la mediana es 7.
Cuando la variable es cuantitativa continua, se sigue haciendo todo igual, pero añadiremos una columna de xi donde el valor que saldrá será la media entre los dos números que pondremos en el intervalo.
Si trabajamos con las alturas de una clase y las agrupamos de 5 en 5 centímetros, la tabla sería así:
| xi | fi | hi | Fi | Hi | % | |
|---|---|---|---|---|---|---|
| [1,50 - 1,55) | 1,525 | 4 | 0,22 | 4 | 0,22 | 22 |
| [1,55 - 1,60) | 1,755 | 9 | 0,5 | 13 | 0,72 | 50 |
| [1,60 - 1,65) | 1,625 | 5 | 0,28 | 18 | 1 | 28 |
| N=18 |
De manera que para hacer la columna del xi · fi multiplicaríamos 1,525 · 4 / 1,755 · 9 / 1,625 · 5.
En estos casos de variables cuantitativas continuas cabe resaltar que la media aritmética será más exacta si sumamos todos los valores iniciales que nos dan y los dividimos entre N, pero si tenemos muchísimos valores iniciales, con el método de la tabla obtenemos una buena aproximación a la media aritmética.
