Empréstitos: amortización por sorteo
En este tipo de empréstitos, muy utilizados, se realizan periódicamente amortizaciones de un número determinado de títulos, que son elegidos por sorteo.
Las cuotas periódicas incluyen, por tanto, dos conceptos:
- El pago de los intereses del periodo
- La amortización de aquellos títulos seleccionados
a) Pago periódico de intereses y cuotas periódicas constantes
Dentro de este tipo de empréstitos, destaca un modelo particular que se caracteriza porque las cuotas periódicas son constantes durante toda la vida del empréstito (por simplificar, vamos a considerar que el tipo de interés también es constante durante toda la operación).
Para calcular el importe de la cuota periódica se aplica la ley de equivalencia financiera:
Co = Ms * Ao |
Siendo Co el importe inicial del empréstito |
Siendo Ms el importe de la cuota periédica |
Siendo Ao el valor actual de una renta constante, pospagable |
De aquí podemos despejar el valor de Ms. Para calcular que parte de esta cuota periódica corresponde a amortización de capital se calcula la correspondiente al primer periodo:
M1 = (Co * i * t) + (A1 * Vn) |
El primer paréntesis (Co * i * t) corresponde a los intereses del periodo, mientras que el segundo paréntesis (A1 * Vn) corresponde a la amortización de capital (siendo A1 el número de títulos que se amortiza y Vn el valor nominal de cada título) |
El importe de los intereses se puede calcular directamente, y a continuación se puede deducir el importe de la amortización de capital (y con ella, el número de títulos amortizados).
A partir del número de títulos que se amortiza en el primer periodo, se puede calcular el calendario de amortizaciones:
As = Ai * (1 + i)^s-1 |
Siendo As el número de títulos que se amortiza en el periodo s |
La parte de cada cuota periódica que corresponde a intereses se calcula aplicando la fórmula:
Ms = AMs + Is |
Por lo que, Is = Ms - AMs |
Ejemplo: Se realiza una emisión de obligaciones de 20.000 millones ptas., distribuida en 1.000.000 de títulos de 20.000 ptas. de nominal cada uno, a un plazo de 5 años y tipo de interés del 8%. Las cuotas son anuales y constantes.
Calcular el cuadro de amortizaciones:
Solución:
Se comienza por calcular el importe constante de la cuota periódica
Co = Ms * Ao |
luego, Co = Ms * ((1 - (1 + i)^-n) / i) |
luego, 20.000 = Ms * ((1 - (1 + 0,08)^-5) / 0,08) |
luego, Ms = 5.009,13 millones ptas. |
A continuación se calcula el número de títulos que se amortiza en el primer periodo:
Ms = (Co * i * t) + (A1 * Vn) |
luego, 5.009,13 = (20.000*0,08*1) * (A1 * 0,02) (el valor nominal del título está expresado en millones de ptas.) |
luego, A1 = 170.456 títulos |
Ya podemos hallar el número de títulos que se amortiza en cada uno de los periodos:
A2 | 170.456 * (1 + 0,08) | 184.092 títulos |
A3 | 170.456 * (1 + 0,08)^2 | 198.820 títulos |
A4 | 170.456 * (1 + 0,08)^3 | 214.725 títulos |
A5 | 170.456 * (1 + 0,08)^4 | 231.904 títulos |
Conociendo el número de títulos amortizados, simplemente se multiplican por su valor nominal para ver el importe del empréstito amortizado en cada periodo.
Los intereses se calculan por diferencia: Is = Ms - AMs
Ya se puede completar el cuadro de amortizaciones:
N° de títulos | Cuota periódica | Saldo vivo del empréstito | |||||
Periodo | Vivos | Amortizados en periodo | Amortiz. acumulados | Amortiz. de capital | Intereses | Cuota periódica | |
(Millones ptas.) | (Millones ptas.) | (Millones ptas.) | (Millones ptas.) | ||||
año 0 | 1.000.000 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 20.000 |
año 1 | 829.544 | 170.456 | 170.456 | 3.409,12 | 1.600,00 | 5.009,13 | 16.590,88 |
año 2 | 645.452 | 184.092 | 354.548 | 3.681,84 | 1.327,29 | 5.009,13 | 12.909,04 |
año 3 | 446.632 | 198.820 | 553.368 | 3.796,40 | 1.032,73 | 5.009,13 | 8.932,64 |
año 4 | 231.904 | 214.725 | 768.093 | 4.294.50 | 714,63 | 5.009,13 | 4.638,08 |
año 5 | 0 | 231.904 | 1.000.000 | 4.638,08 | 371,05 | 5.009,13 | 0 |
