Triángulo de Tartaglia

Tartaglia es una palabra italiana que significa tartamudo. El gran matemático italiano Niccolo Fontana, siendo niño, recibió un fuerte golpe en la mandíbula que le impedía hablar bien, de ahí que le llamaran “Tartaja o Tartaglia” : Nació el año 1500, huérfano de padre desde muy joven y a pesar de la pobreza en la que vivían su madre y sus hermanos, a base, de trabajo y constancia consiguió llegar a ser un gran matemático. Le debemos gratitud por los descubrimientos que hizo en el campo de las ciencias.

Cuando la suma de dos términos elevamos al cuadrado vemos que la parte literal de los términos (de momento no tenemos en cuenta los coeficientes o parte numérica de los términos resultantes) sigue una ley sencilla e interesante:

Podríamos escribir también:

Recuerda que una potencia de exponente cero vale 1. Como a0 y b0 valen 1 cualquier valor por 1 no cambia el resultado.

Si te fijas bien en el resultado, los exponentes de a van decreciendo de uno en uno. Comienza en 2 y acaba en cero.

Los exponentes de b hacen lo contrario, comienzan por cero y acaban en 2.

Supongamos que tenemos: o el cubo de la suma de dos números, la parte literal del resultado sería teniendo en cuenta lo que acabamos de estudiar:

Los exponentes de a van decreciendo de uno en uno y los de b crecen de uno en uno. Verás, que siempre, el grado de cada término equivale al exponente al que elevamos la suma de los dos números.
Veamos el resultado de elevar a la cuarta potencia:

Observa que la suma de exponentes de la parte literal de cada término siempre será igual a la potencia a la que hemos elevado el binomio.
De ahora en adelante, omitimos los exponentes de exponente cero por valer 1. Da igual que a un número lo multipliques o no por 1, continua con el mismo número:

9.69 Escribe el desarrollo de la parte literal de

Respuesta:

9.70 Escribe el desarrollo de la parte literal de

Respuesta:

Cómo calculamos la parte numérica o los coeficientes de cada término sin hacer las multiplicaciones?

Imagina que tenemos que multiplicar es decir,

Seguro que tardaríamos muchos minutos en hacer las multiplicaciones con riesgo de equivocarnos. Aquí tenemos la solución de Niccolo Fontana, el señor Tartaglia. El nos ahorró hacer tantas multiplicaciones con un método sencillo y ameno.
Toma un papel y un boli y escribe bastante separados dos unos:
1 1
Ahora suma los dos números que has escrito y el resultado lo colocas en la línea siguiente en medio de los dos unos:

1 1
2

En la misma línea donde tienes el dos escribe dos unos: uno de ellos comenzando esta segunda línea y el otro al final guardando la forma del triángulo:

Las llaves te indican los números que sumamos. Guarda las distancias para que te quede bien.
La tercera línea comenzamos con un 1. Sumamos 1 + 2 y 2 + 1 colocamos los resultados de las sumas como aparece debajo. Termina con un 1 esta línea:

Las llaves te indican los números que sumamos. Guarda las distancias para que te quede bien.
La tercera línea comenzamos con un 1. Sumamos 1 + 2 y 2 + 1 colocamos los resultados de las sumas como aparece debajo. Termina con un 1 esta línea:

La cuarta línea comenzamos con un 1. Sumamos 1 + 3, 3 +3 y 3 +1 colocamos los resultados de las sumas como aparece debajo. Termina con un 1 esta línea:

La quinta línea comenzamos con un 1. Sumamos 1 + 4, 4 +6, 6 + 4 y 4 +1 colocamos los resultados de las sumas como aparece debajo. Termina con un 1 esta línea:

9.71 ¿Cuál sería la sexta línea?
Respuesta:

1 6 15 20 15 6 1

9.72 ¿Cuál sería la séptima línea?
Respuesta:
1 7 21 35 35 21 7 1

……. y todo esto ¿para qué?
Colocamos el triángulo de Tartaglia sin llaves ni explicaciones, ya ves que es todo muy sencillo:

Imagina que nos dicen que calculemos:

¿Recuerdas que dejábamos unos espacios en blanco para la parte numérica de cada término?
Los números de cada línea del triángulo de Tartaglia representan los coeficientes o parte numérica de cada término.

Si tienes que calcular escribes:

Ahora vas a la segunda línea del triángulo de Tartaglia y colocas delante de cada término los números que contiene:

Como los coeficientes de valor 1 no se escriben si no van solos nos queda:

Si nos dicen que calculemos:

En lugar de multiplicar :

Utilizamos el sencillo triángulo de Tartaglia .
Primero escribimos la parte literal dejando huecos para los coeficientes o parte numérica de cada término, menos para el primero y último términos que llevan el 1 y por lo tanto, no los colocamos:

Ahora nos desplazamos a la cuarta línea del triángulo de Tartaglia porque la suma de a + b elevado a 4 y copiamos los números que figuran en ella (excepto los unos) y tendremos:

9.73 Calcula el valor de

Respuesta:

9.74 Calcula el valor de

Respuesta:

Cuadrado de la diferencia de dos números:

Hasta ahora hemos estudiado cuanto se refiere a la suma, pero ¿qué sucede si se trata de una diferencia como: ?

No tienes ningún problema. El primer término lleva signo positivo, segundo negativo, el tercero positivo, cuarto negativo,…
Como notarás se van alternando los signos comenzando por el signo más.
Los términos que ocupan lugar par tienen signos negativos y los que ocupan lugar impar tienen signos positivos:

9.74 Calcula el valor de

Respuesta: