Distancias del Baricentro a cada vértice

Si a cada mediana le divides en tres partes iguales, cada trozo, será la tercera parte de su longitud.

Es importante que sepas que la distancia del baricentro a cada uno de sus vértices es igual a  de su longitud y que se halla a  del lado.Compruébalo en la figura siguiente:

Podemos decir que la distancia del baricentro a cada vértice es el doble de la distancia al punto medio del lado opuesto correspondiente.

15.83  Demuestra que la suma de los ángulos exteriores de un triángulo cualquiera vale 360º

Demostración:

Sabemos que un ángulo exterior de un triángulo vale la suma de los dos ángulos interiores no adyacentes a él.

Puedes comprobar que el ángulo exterior en color verde que vale 113º equivale a la suma de los dos interiores no adyacentes.

Para demostrarlo trazamos una paralela al lado  a partir de C y obtenemos la línea 

Escribimos los valores de los ángulos que se nos han creado:

Los ángulos  y son iguales porque son alternos internos (vemos que valen 58º).

Los ángulos  y 

son iguales porque son correspondientes (vemos que valen 55º).

El ángulo exterior  cuyo valor es de 113º equivale a la suma de los ángulos:

 + , es decir, 58º+55º.

15.84   En un triángulo rectángulo un ángulo vale 33º44’ ¿Cuánto valen los otros dos?

Respuesta: 56º16’ y 90º

15.85   Dibuja el incentro y ortocentro de un triángulo isósceles.

Respuesta:
En la figura tenemos en color verde las alturas del triángulo isósceles. El punto donde se encuentran las tres alturas (la altura es la recta que parte de un vértice y es perpendicular al lado opuesto) en color amarillo es el ortocentro.

El incentro o lugar donde se encuentran las bisectrices (la bisectriz divide al ángulo en dos partes iguales) lo tenemos en color verde.

15.86  ¿Es posible que el ortocentro se sitúe fuera del triángulo? Responde y demuestra.

Respuesta: Sí

Demostración: 
Cuando el triángulo es obtusángulo el ortocentro queda fuera del triángulo:

Partimos de un triángulo obtusángulo:

Vemos que el triángulo tiene un ángulo obtuso, es decir, mayor que 90º.

Como el ortocentro es el lugar donde se juntan las alturas y éstas son perpendiculares a los lados opuestos, prolongamos los lados  en color verde:

Trazamos las alturas en color rojo:

1ª Desde el ángulo A y es perpendicular al lado  en este caso, a su prolongación.

2ª Desde el ángulo B y es perpendicular al lado 

3ª Desde el ángulo C y es perpendicular al lado en este caso, a su prolongación.