Los Ángulos en la circunferencia - 2
15.146 ¿Cuánto vale el ángulo cuyo vértice señalamos con X?. Razona la respuesta:
Respuesta: X=70º30’. Se trata de un ángulo inscrito y vale la mitad del arco que abarcan sus lados, es decir, la mitad del ángulo central.
15.147 ¿Qué valor tiene X en la figura siguiente? Razónala.
Respuesta: X=31º. Mismo razonamiento del problema anterior.
15.148 Halla el valor de X en la figura siguiente:
Respuesta: X=62º por ser ángulo central y tener el doble del valor del ángulo inscrito cuyos lados abarcan el mismo arco.
15.149 ¿Cuántos grados vale el ángulo X?
Respuesta: X=135º
Solución:
El ángulo 
es inscrito y sus lados abarcan el arco 
que corresponde al ángulo central de 270º, luego X valdrá la mitad del ángulo central, es decir, 
15.150 ¿Cuánto vale el ángulo X de la figura siguiente y cuál la longitud del arco que abarcan sus lados?
Respuesta: X= 136º30’: longitud del arco = 
4) Ángulo interior: Un ángulo interior es el que tiene su vértice en un punto interior cualquiera de la circunferencia y sus lados son secantes a ella:
El ángulo 
es un ángulo interior del que a continuación vamos a deducir el valor del arco que abarcan sus lados..
En primer lugar prolongamos los lados 
y 
:
Ahora unimos los puntos A y D:
Si te fijas bien, el ángulo 
es un ángulo inscrito y vale la mitad del central 
la longitud del arco que le corresponde es 
:
Ves que el ángulo 
vale 73º, es decir, la mitad del ángulo central que mide 146º, abarcando los lados de ambos ángulos el mismo arco.
Podemos decir que 
El ángulo 
también es un ángulo inscrito y le corresponderá el arco 
Escribiremos la igualdad 
En el triángulo 
el ángulo en 
verás que es un ángulo exterior, por lo tanto, vale la suma de los interiores no adyacentes a él:
Lo representamos en la figura siguiente:
Puedes comprobar que los ángulos interiores con vértices en 
y en 
suman los mismos grados que el exterior en 
:
La igualdad 
puedo escribirla según todo lo que acabamos de estudiar:
La medida de un ángulo interior a una circunferencia es igual a la semisuma de las medidas de los arcos que abarcan los lados y las prolongaciones de éstos.
15.151 ¿Cuánto vale un ángulo interior a una circunferencia si los arcos abarcados por sus lados y sus prolongaciones miden 81º y 33º? Dibuja.
Respuesta: 57º
Solución:
El arco 
mide 81º y el arco 
33º la semisuma de ambos vale 57º tal como te indica el ángulo 
Observa en la figura las medidas de los ángulos centrales (en color magenta) 
tienen las mismas medidas que sus respectivos arcos.
15.152 Un ángulo interior a una circunferencia mide 42º y uno de sus arcos 54º ¿Cuánto medirá el otro arco?
Respuesta: 30º
5) Ángulo exterior: Un ángulo exterior es el que tiene su vértice en un punto exterior a la circunferencia y sus lados respecto a ésta pueden ser secantes, tangentes, o un lado secante y el otro tangente.
Vamos a estudiar los tres casos:
1º Los lados son secantes:
El ángulo 
que en la figura vale 20º es un ángulo interior del triángulo 
y el ángulo 
que vale 17º es el otro ángulo interior no adyacente al exterior que vale 37º.
Sabemos que el valor de un ángulo exterior de un triángulo es igual a la suma de los dos interiores no adyacentes: 
Sabemos que el ángulo 
es un ángulo inscrito y la medida del arco que abarcan sus lados es 
.
Lo mismo sucede con el ángulo 
que es un ángulo inscrito y la medida del arco es igual 
.
Ahora se trata de saber la medida de arcos que corresponde al ángulo exterior 
.
Vemos que 
Nos interesa despejar 
Donde 
Sustituyendo por las medidas de los arcos conocidos obtengo:
El valor de un ángulo exterior es igual a la semidiferencia de los arcos que abarcan sus lados.
2º Los lados son tangentes:
El razonamiento es igual al caso anterior. El ángulo 
es exterior del triángulo 
que equivale a la suma de los dos interiores no adyacentes:
El ángulo 
es un ángulo semi-inscrito lo mismo que 
y las medidas de los arcos que abarcan sus lados son 
respectivamente.
Los ángulos 
y 
son iguales, podemos escribir:
La suma de los ángulos interiores de un triángulo es igual al exterior no adyacente a ninguno de ellos.
Despejando el valor de 
Sustituyendo los valores de 
y 
por los arcos que abarcan sus lados llegamos: 
Como ves, estamos en el mismo caso como el estudiado cuando los lados eran secantes.
3º Los lados son uno tangente y el otro secante:
En esta figura ves lo mismo de lo que hemos estudiado en el caso anterior. La suma de los ángulos interiores del triángulo 
que suman 147º + 32º = 147º es igual al exterior no adyacente a ninguno de los otros dos.
Siguiendo lo explicado en casos anteriores vemos que:
En los tres casos, el valor del ángulo exterior a una circunferencia es igual a la semidiferencia de los arcos que abarcan sus lados.
