Los Ángulos en la circunferencia

Podemos dibujar ángulos que se relacionen con la circunferencia. Según la posición que ocupen reciben nombres apropiados con relación a esa posición.

Cuanto se refiere a los ÁNGULOS en la circunferencia, siempre RELACIONAMOS a éstos con los ARCOS que forman.

1) Ángulo central: nos hemos referido a él en más de una ocasión; se trata del ángulo formado por dos radios que son sus lados y su vértice se encuentra en el centro O de la circunferencia.

En la figura siguiente ves que el arco  corresponde al ángulo central Ô que lo representamos con el acento circunflejo sobre la letra que representa el vértice del ángulo.

El arco corresponde al ángulo central  o lo que es lo mismo, la longitud del arco comprendido entre sus lados (los radios) pertenece al ángulo central  y su medida es de 96º.
Cuanto mayor es el ángulo central mayor será la longitud del arco que abarcan sus lados:

Vas a tener en cuenta que cuando representamos con letras un ángulo, por ejemplo significa que la letra señalada con en este caso la O, nos referimos a que el vértice del ángulo se encuentra en dicha letra.

Cuando nos refiramos a un arco entre dos puntos señalados con letras, por ejemplo: el arco entre los puntos A y B lo representamos: 

Las dos circunferencias de la última figura de igual radio, la longitud del arco vemos que están en razón directa con la medida del ángulo central: a mayor medida del ángulo central corresponde mayor longitud de arco. La longitud es decir, a 50º corresponde el arco y a 111º corresponde  y puedes comprobar que a mayor ángulo central corresponde mayor longitud de arco.

Muchas veces cuando nos referimos a las medidas de los arcos de la circunferencia hablamos de lo que miden sus longitudes en: m., dm., cm., pero también podemos referirnos a su medida en grados, minutos y segundos, incluso en radianes.

Cuando decimos que un arco mide 75º12’13’’ quiere decir que su ángulo central tiene la misma medida.

Las medidas de los arcos de la última figura puedes expresarlos también en grados: el arco  mide 50º y arco  111º.

Las medidas de los ángulos y arcos de una circunferencia se miden en grados, minutos y segundos.

15.144   Una circunferencia tiene un radio de 5 m. ¿Cuánto mide un arco de esta circunferencia que corresponde a un ángulo central  60º?

Respuesta: 5,23 m.

Solución:

La longitud total de la circunferencia  m., corresponde a 380º
Una longitud de………………………..X m.  corresponden a 60º

15.145   ¿Cuál es la longitud de un arco en metros sabiendo que su ángulo central vale 65º y su radio 8 m.?

Respuesta: 9,07 m.

2) Ángulo inscrito: es el ángulo que tiene su vértice en un punto de la misma línea de la circunferencia y sus lados la cortan.

Ves que el vértice se encuentra en el punto P de la circunferencia y los lados del ángulo inscrito cortan a la circunferencia en A y en B.

¿Cuál es la medida del arco correspondiente a este ángulo inscrito de 44º? Por supuesto que no se trata de la longitud del arco  por que el ángulo tendría que ser central.

Modo de calcular el valor de un ángulo inscrito:

En primer lugar trazo una línea que une el punto B con el centro O, tal como lo puedes ver en la figura siguiente:

El segmento OB y el segmento OP son iguales por tratarse del radio. Esto quiere decir que si los lados con vértice en O son iguales, los ángulos cuyos vértices están en B y en P serán iguales.
Las medidas de estos ángulos los tienes a continuación y comprobamos que tienen 44º:

Ahora observa bien la figura siguiente que como estudiamos con anterioridad e hicimos la demostración correspondiente sobre el valor de un ángulo exterior de un triángulo, decíamos que era igual a la suma de los otros dos ángulos interiores no adyacentes:

El ángulo con vértice en O es igual a los valores de los ángulos cuyos vértices están en B y en P, podríamos escribir: 

Vemos que los ángulos  ambos valen en nuestro ejemplo 44º.

La igualdad  podemos escribirla  por ser iguales los ángulos 

Esto quiere decir que  podemos escribir:  y de esta igualdad despejamos :

Comprobamos que el ángulo central en  vale 88º, es decir, el doble que los ángulos inscritos y abarca el arco Esto significa que la medida del arco que abarca el ángulo  o el ángulo  valdrán la mitad de lo que abarca el ángulo central , es decir, .

El valor de un ángulo inscrito es igual a la mitad del ángulo central, luego, la medida del arco correspondiente a un ángulo inscrito equivale a la mitad del arco que comprenden sus lados o a la mitad del ángulo central correspondiente.

3) Ángulo semi-inscrito: El ángulo semi-inscrito es el que su vértice se encuentra en un punto de la circunferencia, y sus lados, uno es tangente y el otro secante con relación a la circunferencia:

En la figura siguiente señalamos el centro y creamos el ángulo central . El lado del ángulo central es perpendicular al  lado secante . El lado del ángulo central es perpendicular al lado tangente :

Pasamos a la figura siguiente y puedes ver que hemos creado los ángulos  que abarca el arco  y que abarca el arco , es decir, los ángulos en y en .

Estos ángulos son iguales (en este caso miden 46º) porque sus lados son perpendiculares:

El arco  corresponde al ángulo central  de 46º. Podemos escribir:

Como el valor del arco correspondiente al ángulo central es el que abarcan sus lados escribimos:

También podemos decir que:

 debido a que OD es mediatriz de CE.

Como el arco  es la mitad del arco  podemos escribir:

Como , podemos decir que también:  Si ahora sustituyes :

 tenemos la igualdad : 

La medida de un ángulo semi-inscrito es igual a la mitad del arco que abarcan los lados.
Todo lo explicado sobre el ángulo semi-inscrito lo puedes ver en el gráfico siguiente:

Sucede como si se tratara de un ángulo inscrito. Comprobamos que la medida del ángulo semi-inscrito equivale a la mitad del ángulo central y es igual, a la mitad de la medida del arco que abarcan sus lados.