Rango de una Matriz. Ejercicios #25, 26, 27, 28 y 29
Existen muchas definiciones sobre lo que debe entenderse por rango de una matriz.
Aunque parezca una bobada lo de “siempre que pasa igual, sucede lo mismo” es cierto. Cuando te encuentres con muchas definiciones sobre el mismo tema, mal síntoma, seguro que es difícil de entender.
Si hay muchas definiciones sobre lo mismo, deben ser malas definiciones. Con una que sea sencilla y clara basta.
Algunas definiciones interesantes para quien estudia matrices por primera vez:
1) Rango de una matriz es el orden del mayor de los menores distintos de cero.
2) Es el orden del mayor menor no nulo (es lo mismo que lees en 1).
3) El sub espacio vectorial generado por las columnas de la matriz K es de una dimensión igual al rango de k que coincide con el número de columnas básicas de la matriz.
4) El rango de una matriz es el número de filas distintas de cero al reducirlas por el método de reducción por filas a la forma escalonada.
5) Es el número de filas o columnas linealmente independientes.
Existen más. Todas ellas son ciertas ¿pero están al alcance de alguien, con ganas o necesidad de saber y que lo estudia por primera vez? ¿No son un poco decepcionantes?
Filas y columnas linealmente independientes
Tomamos un sistema de ecuaciones sencillo:
Lo escribimos en forma de una matriz:
Ves que hemos escrito los coeficientes y términos independientes de forma ordenada.
¿Encuentras algún número que multiplicado o dividido por los valores de una fila obtengas los valores de la otra fila?
Te darás cuenta de que no. En este caso afirmamos que cada fila es linealmente independiente. Imagina la matriz:
Verás que los valores de la segunda fila los obtenemos multiplicando por –2 a los de la primera. En este caso la segunda fila es linealmente dependiente de la primera y ésta decimos que es linealmente independiente.
Observa esta otra matriz:
¿Cuántas filas independientes hay?
Notarás que no hay ningún número que multiplicado o dividido por los valores de una fila obtengas los de las otras.
Pero si sumas los valores de las dos primeras filas obtienes los valores de la tercera.
Podemos decir que hay dos filas independientes.
Cuanto nos referimos a las filas es aplicable a las columnas.
Ejercicio #25
¿Cuántas filas linealmente independientes tiene la matriz siguiente y por qué?
Respuesta: 3 filas linealmente independientes porque no hay ningún factor o divisor que actuando en los valores de una fila obtengamos los de otra. Tampoco por la suma o diferencia de dos filas podemos obtener los de la tercera.
Ejercicio#26
¿Cuántas filas linealmente independientes tiene la matriz siguiente y por qué?
Respuesta: 2 filas independientes porque la 3ª fila procede de sumar la 1ª y 2ª y cambiarlas de signo.
Ejercicio #27
¿Cuántas filas linealmente independientes tiene la matriz siguiente?
Respuesta: 3 filas independientes. La suma de los valores de la 3ª fila con los de la segunda no nos dan todos los valores de la 1ª. No existe un número que multiplicado o dividido por los números de una fila cualquiera sean iguales a los valores de las otras filas.
Ejercicio #28
¿Cuál es el rango de la siguiente matriz?
Respuesta: r(A) = 3
Ejercicio #29
¿Cuál es el rango de la siguiente matriz?
Respuesta: r (B) = 2
