Consolidar conocimientos adquiridos sobre rectas y planos en el espacio

Para terminar el apartado de las rectas y planos en el espacio, es aconsejable que trates de resolver los problemas, ejercicios y cuestiones que se te proponen a continuación, donde además de disponer de la respuesta de cada uno de ellos, al final, los tendrás resueltos paso a paso.

La teoría de las matemáticas es fácil, lo difícil es saber aplicarlas y para esto, el mejor camino es la práctica.

RELACIONAR RECTAS Y PLANOS
En algunos problemas o ejercicios encontrarás datos referidos a ambos.
Conviene recordarte que una recta en el espacio queda determinada si de ella conocemos un punto y su vector director.

Esto quiere decir que una recta en el espacio puede estar representada con dos determinaciones lineales distintas, siempre que los valores de los vectores directores tengan la misma dirección y sentido, no nos importa el módulo mientras sea distinto de cero.

En la figura siguiente tienes la representación de la misma recta con dos determinaciones lineales distintas:

Las componentes de los puntos P y Q ves que son diferentes pero pertenecen a la misma recta , por otro lado, los vectores directores  y son linealmente dependientes, proporcionales y su rango vale 1.

RECTA QUE QUEDA DETERMINADA POR DOS PLANOS QUE SE CORTAN
Si la recta procede de la intersección de dos planos que se cortan (planos secantes) la recta puede quedar determinada en su forma implícita:

En la parte práctica volveremos sobre este tema.

Otro modo de expresar la misma recta r es con el símbolo  :

y también :

Estos dos símbolos significan congruencia. 
La congruencia se parece a la igualdad pero con leves diferencias, comprobemos con un ejemplo:

ves que los ángulos son iguales porque nos fijamos que valen lo mismo, la bisectriz divide a un ángulo en dos partes iguales.

Pero hay quienes defienden la idea de que al poner un ángulo (una recta, un polígono, etc.,) encima del otro, directamente, si coinciden es que son iguales y si con uno de ellos tenemos que hacer una traslación o rotación para que coincidan, hablamos de congruencia.

Estos dos triángulos son iguales en superficie pero podemos llamarlos congruentes (para que coincidan habremos de realizar algún movimiento de traslación y rotación).

¿QUÉ SUCEDE CON LA ECUACIÓN DE LA RECTA EN EL ESPACIO EN SU FORMA CONTINUA?

También en este caso nos encontramos con dos ecuaciones referidas a la misma recta.
Sabes que la ecuación de la recta en el espacio, en la forma continua la escribimos:

No nos importa que uno o dos denominadores sean ceros, las igualdades que obtenemos con el producto de los términos de una proporción, producto de medios igual al producto de extremos son válidas.

Veamos la resolución de un caso práctico en lo que aplicamos cuanto acabamos de decir:

Calcula la ecuación de una recta de la que sabemos pasa por los puntos  

Solución

Hallamos primero las componentes del vector director, es decir,

Una vez conocido este dato (denominadores de las razones de la ecuación de la recta en forma continua) ya puedes escribir la ecuación de la recta en la forma continua y tomamos como punto de referencia del plano el 

Resolvemos:

Ves que la primera ecuación carece de término en  y la segunda en , entonces escribiremos:

Ten en cuenta estas observaciones porque posiblemente te sean útiles en el transcurso de la realización de los problemas y ejercicios.