Posición Relativa de dos rectas en el Espacio

Aprovechando lo estudiado lo relativo a los planos pasamos a estudiar la posición relativa de rectas en el espacio.

Al tratar con rectas en el espacio, a veces, nos hacemos la idea de algo complicado de imaginar y, sin embargo, es algo que tiene que ver con nuestra vida diaria.

Seguramente que pasas varias horas al cabo de un día dentro de una habitación. Procura dedicar un par de minutos en contemplar las paredes, el suelo, el techo. Todos ellos son planos que se cortan o se encuentran con otros.

Verás que las intersecciones de los planos podemos comparar con rectas que pertenecen al mismo tiempo a ambos planos:

Figura de la izquierda:                        
Las rectas de color verde se cortan en un punto (secantes).
Las rectas de color azul por mucho que las prolonguemos no se encuentran y tienen en común el plano de color amarillo(paralelas).
Las rectas de color rojo por mucho que las prolonguemos no se encuentran y no tienen en común plano alguno (se cruzan).

Figura de la derecha:
Analizamos las líneas de intersección de los planos desde un punto de vista “exterior” e incluimos las rectas coincidentes.

Vamos a tener en cuenta las dos ecuaciones de una misma recta procedente de la intersección de dos planos:

En la figura tenemos el plano α cuya ecuación es:

y el plano π cuya ecuación es:

Si la recta r pertenece a ambos planos, cualquier punto de ella corresponderá también al plano.
La recta r podemos escribirla de cualquiera de las dos formas:

En las figuras anteriores hemos visto que en cada caso, hacemos referencia a dos rectas diferentes. 

Supongamos la recta s que nace de la intersección de otros dos planos diferentes. Cuanto hemos dicho con relación a la recta r sirve para la recta s cuyos coeficientes y términos independientes serán distintos:

Aplicamos lo estudiado en los planos para calcular los rangos de las matrices y saber si las rectas se cruzan, cortan, coinciden o son paralelas.

Como lo hicimos anteriormente, representamos con M la matriz formada por los coeficientes y M’ a la ampliada, es decir, en la que incluimos a los términos independientes: