Combinación sin Repetición
COMBINACIONES SIN REPETICIÓN 
Son los grupos que podemos hacer de entre m elementos tomados de n en n diferenciándose, un grupo de otro, en tener algún elemento distinto.
Si disponemos de los elementos: 
y los tomamos de 2 en dos, los grupos que podemos formar de modo que cada grupo se diferencie de los demás en tener un elemento distinto son:
Sustituyendo valores tenemos:
Vamos a analizar el numerador para obtener una fórmula sencilla.
Imagina que tenemos el siguiente producto indicado: 5x4x3
¿qué le falta para que sea 5!?
Como sabemos que el factorial de un número lo componen una serie de factores decrecientes, partiendo de él, de unidad en unidad hasta llegar a la unidad, notamos que falta el factor 2 y si queremos escribirlo, también el 1: 
En la expresión: 
vemos que los factores a partir de m van decreciendo de unidad en unidad, pero al llegar al factor 
se detiene.
¿Cuál es el factor siguiente a 
que valga una unidad menos?.Lógicamente 
El factor siguiente a 
que valga una unidad menos sería: 
¿Cuánto vale 
?
Si multiplico 
veo que es igual a 
¿Cuánto vale 
?
Será lo mismo que 6!..
¿Cuánto vale 
?
El producto ha comenzado con el factor m y han ido decreciendo de unidad en unidad hasta llegar a 
el siguiente factor es 
y si le multiplico por 
ahora he enlazado desde m hasta 1 decreciendo de unidad en unidad, es decir,m!.
En 
multiplico al numerador y al denominador por ( m – n)! no varía el valor del cociente, y sin embargo, he reducido el tamaño de la fórmula de las combinaciones porque me quedará:
Lo que equivale a 
18.11 Con las cifras 1, 2, 3, 4, 5, 6 y 7 ¿cuántos productos diferentes puedo conseguir si las tomo de 2 en dos y cuáles son los factores?
Respuesta: 21 productos y son:
Solución
Nota.- Cada grupo debe tener un elemento distinto para que los productos sean diferentes. El orden de los factores no cambia el resultado del producto.
18.12 Con los pesos de 6 alumnos de 56, 60, 62, 63, 66 y 69 kilos tomándolos de tres en tres ¿cuántas pesadas diferentes pueden obtenerse?
Respuesta: 20 pesadas
18.13 ¿Cómo puedes escribir de otro modo: 5x4!?
Respuesta: 5!
18.14 Responde, como en el ejercicio anterior a qué son iguales: 3x2!, 2x1!, 1x0!.
Respuestas: 3!, 2! y 1!
Nota. Por convenio 0! vale 1
COMBINACIONES CON REPETICIÓN 
Cada grupo puede tener elementos repetidos diferenciándose uno de otro en tener un elemento distinto.
La alteración del orden de los elementos no se admite combinaciones.
Ejemplos:
Tenemos 4 elementos 
los tomamos de dos en dos, se admite la repetición de elementos.
Si no hubiera repetición, las 
Los grupos sin repetición son:
ab, ac, ad, bc, bd, cd (6)
Los grupos con repetición tomados de dos en dos serían:
aa, ab, ac, ad, bb, bc, bd, cc, cd, dd (10)
Los grupos sin repetición tomados de tres en tres serían:
abc, abd, acd, bcd (4)
Los grupos con repetición tomados de tres en tres serían:
aaa, aab, aac, aad, abb, abc, abd, acc, acd, add, bbb, bbc, bbd, bcc, bcd, bdd, ccc, ccd, cdd, ddd (20)
La fórmula que responde a estos resultados es:
18.15 ¿De cuántas formas puedo agrupar los números 1, 2, 3, 4 y 5 constando cada uno por 3 elementos?
Se desea ver cada número formado.
Respuesta: 35 números que son:
111 112 113 114 115 122 123 124 125 133 134 135 144
145 155 222 223 224 225 233 234 235 244 245 255 333
334 335 344 345 355 444 445 455 555
18.16 ¿Cuántas combinaciones puedes hacer con las cifras 1, 2, 3, 4, y 5 tomadas de 3 en 3 de modo que el número 3 se halle en todos los grupos?
Respuesta: 6
Solución
Con las cinco cifras puedes hacer 10 números diferentes de 3 cifras cada uno:
Cada uno de los 10 números tiene 3 cifras lo que hacen un total de 30 cifras.
De las 30 cifras, 6 corresponderán al 1, 6 al 2, 6 al 3, etc., y esto quiere decir, que habrá: 
números que contienen a cada una de ellas: 123 124 125 134 135 145 234 235 245 345
Podrás comprobar 6 números contienen el 1
6 números contienen el 2
6 números contienen el 3
6 números contienen el 4
6 números contienen el 5
Problemas de combinatoria:
18.17 ¿De cuántas maneras se pueden sentar 10 personas alrededor de una mesa?
Respuesta: 
18.18 ¿Cuántas quinielas de fútbol tengo que rellenar para sacar una de 14?
Respuesta: 
Solución
En cada partido, un equipo puede: ganar, empatar o perder y esto se repite en 14 partidos, luego tendremos:
18.19 ¿Cuántos números de cinco cifras diferentes y distintos a 54321 puedo formar con las que componen dicho número?
Respuesta: 119 números
Solución
Se trata de las 
Como en estos 120 números se encuentra 54321 y a éste no hay que incluirlo tendremos 120 – 1 =119
18.20 Con las cifras 1, 2 y 3 ¿cuántos números de 4 cifras puedo formar? Si tienes paciencia escríbelos.
Respuesta: 81 números
Solución
Al ser números de 4 cifras algunas se tienen que repetir por disponer de tres solamente. Como un número para ser distinto de otro es suficiente que varíen el orden de colocación de sus cifras nos encontramos ante variaciones con repetición: 
Los números son: 1111 1112 1113 1121 1122 1123 1131 1132 1133 1211 1212 1213 1221 1222 1223 1231 1232 1233 1311 1312 1313 1321 1322 1323 1331 1332 1333 2111 2112 2113 2121 2122 2123 2131 2132 2133 2211 2212 2213 2221 2222 2223 2231 2232 2233 2311 2312 2313 2321 2322 2323 2331 2332 2333 3111 3112 3113 3121 3122 3123 3131 3132 3133 3211 3212 3213 3221
3222 3223 3231 3232 3233 3311 3312 3313 3321 3322 3323 3331 3332 3333
18.21 Con las cifras 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7
1º¿cuántos números de 4 cifras podemos hacer?
2º .- ¿Cuántos de los números anteriores comienzan con la cifra 2?
3º ¿Cuántos números del problema 18.21 comienzan por 12…..?
Respuestas: 1ª) 840 números
2ª) 120 números
3ª) 20 números
Solución
1) 
2) Comienzan por 2: 
Ahora, el número de elementos disminuye una unidad ya que excluimos el dos y cada número tendrá 3 elementos porque al 2 ya lo tenemos en cuenta.
3) Comienzan por 12: 
Si los números han de ser de 4 cifras y las dos primeras son 12, nos quedan 5 cifras para hacer números de 2 cifras para colocarlas detrás de 12…y de este modo, los números sean de 4 cifras como:
1234 1235 1236 1237 1243 1245 1246 1247 1253 1254 1256 1257 1263 1264 1265 1267 1273 1274 1275 1276
18.22 Con las cifras 1, 2, 3, 4, 5, 6 y 7 ¿Cuántos números de 4 cifras puedo escribir que comiencen por 2 y terminen en 5?
Respuesta: 20 números
Solución
Los números tienen el formato: 2 ? ? ? ? ? 5 , es decir, que el primero y último ya los tengo ocupados, me quedan 5 cifras para formar números de 2 cifras cada uno: 
que rellenarían los espacios cubiertos con el signo ?.
18.23 Con las cifras 1, 2, 3, 4, 5, 6 y 7 ¿Cuántos números de 4 cifras puedo escribir que no contengan el ni el 3?
Respuesta: 120 números
Solución
En realidad debo formar grupos de 4 elementos con 5 elementos y que se diferencien en tener un elemento distinto o en el orden de colocación: 
18.24 Con el texto del problema anterior ¿cuántos y cuáles son los números de 4 cifras que puedes formar que comiencen por 2 acaben en 7 y no contengan ni el 3 ni el 4?
Respuesta: 6 números y son 2157, 2167, 2517, 2567, 2617 y 2657
Solución
De las 7 posiciones o lugares tengo ocupadas 4.
Cada grupo ha de tener 4 cifras de las que 2 tengo ocupadas con el 2 y el 7.
Me quedan libres 3 posiciones a ser ocupadas por 2 cifras cada vez.
Tendremos: 
