Método Simplex (Maximización)

Problema 21.

Se desean fabricar dos artículos A y B cuyas cantidades respectivas hay que determinar, con el propósito de conseguir el máximo beneficio, sabiendo que cada unidad vendida de A proporciona un margen de beneficio de 3 u.m. y a cada unidad de B le corresponde un margen de 5 u.m.

Se sabe, asimismo, que por cada unidad fabricada de A se emplean dos unidades del factor F1 y dos del factor F2, mientras que en cada unidad fabricada de B se emplean una unidad del factor F1 y cuatro unidades del factor F2, no pudiendo disponer más que de un máximo de 20 unidades de F1 y 44 unidades de F2, por unidad de tiempo.

Solución: (completa “paso a paso”)

Hemos de fabricar dos productos, A y B que designaremos con las siguiente incógnitas:

X1 = número de unidades a fabricar de A
X2 = número de unidades a fabricar de B

En la resolución de un simplex se emplearán las llamadas variables de holgura (hi), que ayudan a construir el sistema de ecuaciones con el que se trabajará durante todo el problema. La ecuación correspondiente a la solución se denomina función objetivo.

En la función objetivo habrá tantas variables de holgura como factores limitativos existan en el problema. Por ejemplo, en este problema se toman recursos de dos factores (F1 y F2) y por eso hay dos variables de holgura en la función objetivo, que es esta:

• Donde el coeficiente de X1 es 3 porque cada unidad de A vendida vale 3 unidades monetarias.
• Donde el coeficiente de X2 es 5 cada unidad de B vendida vale 5 unidades monetarias.
• Donde los coeficientes de h1 y h2 son 0 porque no aportan nada al beneficio.

Interpretamos los datos del problema para llegar al siguiente sistema de ecuaciones:

Para fabricar una unidad de A, usamos 2 unidades de F1 y 2 unidades de F2.
Para fabricar una unidad de B, usamos 1 unidad de F1 y 4 unidades de F2.
Además, F1 otorga hasta 20 unidades por unidad de tiempo y F2 hasta 40 unidades.

Seguidamente, se construye la primera tabla, que es simplemente la traslación de los datos del sistema y la primera solución: no fabricar nada:

Se confecciona la segunda tabla. Para ello siempre hay que hacer que el pivote valga uno y los semipivotes valgan 0.

Se repite el proceso del cuadro anterior, resultando como nuevo entrante X1 y nuevo saliente h1. Se calculan nuevamente los coeficientes de la siguiente tabla, teniendo en cuenta los elementos pivotes (1,5, cruce de X1 con h1) y semipivotes y (0,5, cruce de X1 con las restantes variables).

Como todos los rendimientos son menores o iguales a 0, no podemos incrementar el beneficio de la función objetivo, por lo que esta tabla da la solución, que consiste en:

Fabricar X1 = 6 unidades del producto A y X2 = 8 unidades del producto B, obteniéndose un beneficio de 3 * 6 + 5 * 8 = 58 unidades monetarias.