Resolución de ecuaciones y sistemas de ecuaciones lineales
En esta lección vamos a aprender o a reafirmar cómo se resuelven ecuaciones y sistemas de ecuaciones lineales, esto con el fin de agilizar las interpretaciones y planteamientos de problemas de química, debido a que en varios de los temas a tratar posteriormente serán muy necesarias si es que deseamos resolver los problemas.
Recordemos primeramente que una ecuación lineal o de primer grado es aquella en la que la variable x está elevada a la potencia 1, y se define como:
y= mx + b
de tal forma que la m representa la pendiente de la recta, y b el punto por el cual intercepta al eje de las y en el plano cartesiano.
Tenemos varias formas de dichas ecuaciones:
FORMA | EJEMPLO | RESOLUCIÓN |
mx + b= c | 3x + 4 = 15 | Para poder resolver esta ecuación vamos a proceder con el método de la balanza. Este nos dice que cualquier cosa que pongamos o quitemos, debemos hacerlo en ambos lados. Los pasos: Dejar de un lado las variables y del otro los números. Generalmente las equis se dejan en el lado izquierdo y los números en el derecho. Para poder hacerlo, debemos quitar ese cuatro que nos estorba: 3x + 4 -4 = 15 – 4 3x = 11 En la ecuación, ya tenemos de un lado las equis y del otro los números. Tenemos que tres equis es igual a doce. Para poder eliminar ese tres que nos estorba, debemos dividir entre tres en ambos lados de la ecuación: 3x/3 = 11/3 x= 3.666666667 |
mx + b = mx + c | 5x + 7 = 2x + 12 | Igual, pasamos las equis de un lado y los números del otro. Para ya no estar haciendo todo el procedimiento anterior, podemos utilizar el método de la operación inversa, esto es, cuando queramos pasar un número o variable de un lado al otro, tenemos que hacerlo con la operación o con el signo contrario. En este caso, queremos las equis a la izquierda y los números a la derecha, por lo tanto vamos a pasar las dos equis hacia la izquierda. Como esta con signo positivo, pasa con signo negativo. El 7 como esta con signo positivo, pasa con signo negativo también: 5x – 2x = 12 – 7 3x = 5 Ahora, nos quedan tres equis son igual a 5. Para pasar ese tres hacia la derecha, tenemos que hacerlo dividiendo, ya que ahí está multiplicando a la equis, obteniendo así la solución: x= 5/3 = 1.666666667 |
mx + b d = mx + c e
| 6x + 3 = 2x + 5 2 3 | Lo primer es eliminar los números que dividen a nuestras ecuaciones. Al estar dividiendo, pasan multiplicando hacia el otro lado: (3)(6x + 3) = (2)(2x +5) Se resuelven las multiplicaciones generadas, obteniendo así una ecuación que puede ser resuelta de la forma anterior. 18x + 9 = 4x +10 Pasamos las 4x hacia la izquierda con el signo contrario e igualmente el 9. 18x – 4x = 10 – 9 14x = 1 Pasamos el 14 que nos estorba dividiendo hacia la derecha, obteniendo así el resultado. x= 1/14 = 0.07143 |
Un sistema de ecuaciones generalmente está conformado por dos ecuaciones relacionadas, las cuales están compuestas por dos variables. Para poder resolverlas, existen varios métodos, sin embargo para efectos de este curso emplearemos únicamente el método denominado de sustitución.
Método de sustitución para resolver sistemas de ecuaciones lineales.
Dado el siguiente sistema de ecuaciones, resolver por medio del método de sustitución:
x + y = 8
5x + 2y = 32
a) En la primera ecuación (generalmente es la más sencilla) vamos a obtener el valor de la variable “y” en función de “x”.
y = 8 – x
b) El valor obtenido de “y” lo vamos a sustituir en la segunda ecuación, de manera que nos quede una ecuación de una sola variable que podamos resolver mediante los métodos vistos con anterioridad.
5x +2(8 – x) = 32
5x + 16 – 2x = 32
3x + 16 = 32
3x = 32 – 16 =16
3x = 16
x = 16/3 =5.33
c) Una vez obtenido el valor de la variable x, sustituimos dicho valor en alguna de las dos ecuaciones (en este caso lo haremos en la primera, ya que es la más sencilla), y resolvemos como una ecuación de primer grado.
5.33 + y = 8
y= 8 – 5.33 = 2.67
ACTIVIDAD. Encontrar los valores de las variables.
ECUACIÓN O SISTEMA DE ECUACIONES | RESOLUCIÓN |
4x – 24 = 35 |
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15x -12 = 7x + 32 |
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9x +54 = 5x – 21 5 3
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x + y = 34 5x – 2y = 23 |
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3x – 4y = 65 32x + y = 298 |
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