Producto vectorial de dos vectores referidos a la base canónica.
Lo vamos a hacer como lo estudiado en el producto escalar de dos vectores:
Sean 
y 
dos vectores cuyos valores son:
Multiplicamos los vectores:
Hacemos operaciones:
Recuerda:
El producto vectorial de dos vectores ortogonales es: 
Hemos estudiado que 
,
es decir, no hay propiedad conmutativa en el producto vectorial.
Hemos de tener en cuenta si el desplazamiento del primer vector sobre el segundo, por el camino más corto, coincide con el sentido contrario al de la marcha de las agujas de un reloj para conocer el signo del vector resultante del producto y este aspecto, posiblemente te lo aclare la figura siguiente:
El producto vectorial
erá igual a 
porque el giro del vector 
sobre el 
,
por el camino más corto coincide con el sentido del tirafondo o sacacorchos.
El producto vectorial 
será igual a 
porque el giro del 
sobre el vector 
,
por el camino más corto coincide con el sentido del tirafondo o sacacorchos.
El producto vectorial 
será igual a 
porque el giro del vector 
sobre el vector 
,
por el camino más corto, coincide con el sentido del tirafondo o del sacacorchos.
El producto vectorial 
será igual a 
porque el giro del vector 
sobre el vector 
, por el camino más corto,NO coincide con el sentido del tirafondo o sacacorchos, es opuesto .
El producto vectorial 
será igual a 
porque el giro del vector 
sobre el vector 
, por el camino más corto NO coincide con el sentido del tirafondo o sacacorchos, es opuesto.
El producto vectorial 
será igual a 
porque el giro del 
, por el camino más corto NO coincide con el sentido del tirafondo o sacacorchos.
Podemos preguntarnos ¿cuánto vale 
o cualquier vector por sí mismo?
Vale 0 porque se trata de vectores iguales con el mismo módulo (si el módulo de uno fuese diferente, no dejarían de ser paralelos), dirección y sentido y el ángulo entre ellos sería 0 y sabemos que el sen 0º = 0
En los recuadros siguientes puedes comprobar las diferencias entre el producto escalar y el producto.
Si estos valores los llevas a:
Eliminando los términos que contengan algún factor elevado al cuadrado nos quedará:
Sustituyendo el producto vectorial de los vectores entre paréntesis con sus correspondientes signos obtenemos:
Ordenamos a los términos con el mismo eje:
Sacamos factores comunes a 
Sucede que este modo de hacer el cálculo de un producto vectorial, pocos lo utilizan.
Casi siempre se utiliza el determinante siguiente que es fácil de recordar y resolver para llegar exactamente al mismo resultado:
Las diagonales principales las tienes en color azul y en rojo las secundarias.
El resultado será:
Sacando factores comunes:
Ejemplo:
21.53 Calcula el valor del módulo del vector producto 
, si las componentes de 
y las de 
Respuesta: 
Solución
Otro modo de resolución del producto vectorial de dos vectores.
MENOR COMPLEMENTARIO:
El determinante anterior lo podemos resolver de otro modo:
Hacemos uso del menor complementario de los elementos 
y 
Cuidado con el cofactor de 
que por corresponder al lugar que ocupa, donde el número de fila vale 1 y el número de columna vale 2, la suma de ambos valores es 1 + 2 = 3 que al ser impar, el signo de 
será negativo.
Resolvemos el determinante anterior:
Finalmente nos queda:
Sustituimos los valores que conocemos:
Resolvemos:
Finalmente obtenemos:
Probablemente es éste, el modo de resolución más utilizado.
21.54 Sabiendo que las componentes 
y las de 
calcula su producto vectorial o 
Respuesta: 
21.55 Calcula el producto vectorial de los vectores 
y 
. Utilizas el modo de resolución que prefieras.
Respuesta: 8i + 8j + 8k
21.56 Halla el valor del producto 
sabiendo que 
y 
Respuesta: – 4i + 12 j – 8k
21.57 Si cambiamos el orden de los factores anteriores variaría el resultado? Comprueba el resultado.
Respuesta: Sí, ahora los valores son : 4i – 12 j + 8k
21.58 Si las componentes de los dos vectores son: 
y 
¿podrías decir su resultado sin hacer uso de fórmula alguna? ¿Por qué?
Respuesta: 0i, 0j, 0k. Porque los vectores son paralelos (las componentes del 2º vector las obtenemos multiplicando por 2 a las del primer vector) y el ángulo al valer 0, el sen 0º = 0º.
21.59 Si las componentes de dos vectores son: 
y 
¿podrías hallar su resultado haciendo uso del producto vectorial?
Respuesta: Nula porque los vectores son proporcionales (el segundo vector es dependiente)
Resolviendo:
21.60 Si las componentes de dos vectores son 
y 
,
¿podrías decir el valor del ángulo que forman dichos vectores: 1º de memoria y 2º haciendo uso del producto escalar?
Respuesta:
1º Vemos que se tratan de dos vectores cuyas componentes son proporcionales, luego su ángulo vale 0º.
2º Recordamos que el producto escalar de dos vectores lo calculamos del modo siguiente:
Despejando 
y sustituyendo valores conocidos:
Si el 
es igual a 1, el ángulo que forman los dos vectores vale 0º
21.61 ¿Cuál es el ángulo que forman los vectores 
y 
?
Respuesta: 32º aproximadamente.
Solución
Hacemos uso de:
Ahora tenemos que calcular el valor del ángulo cuyo coseno vale 0,8437 y para ello hacemos uso de la Hoja de Cálculo Excel.
La función ACOS, es la que nos proporciona el resultado.
Recuerda que el Excel trabaja con radianes y queremos pasar a grados por lo que escribiremos en la Hoja de Cálculo:
Obtenemos 32º como resultado, tomando solamente la parte entera.
